精品解析： 上海市长宁区八年级上学期期末考试2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024学年八年级第一学期数学学科期末考查试卷 （时间：90分钟 总分：100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本考查试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 5. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵、在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，由， ∴， 故选：． 6. 如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为，然后根据直角三角形的面积和正方形的面积可建立关于的等量关系式，求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等积变换，求代数式的值，算术平方根的应用．根据题意建立等量关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用二次根式性质化简，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 8. 在实数范围内分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般分到出现无理数为止． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 9. 已知函数是正比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 11. 已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 12. 已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 _____． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边边长为， 故答案为：． 13. 在直角坐标平面内点与点的距离等于________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、， ∴点和点的距离， 故答案为：． 14. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值方法，分式有意义的条件，解不等式，理解分式有意义的条件，函数自变量的取值方法是解题的关键． 根据分式的性质确定函数自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数中自变量的取值范围是， 故答案： ． 15. 如果函数，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了自变量和函数值以及分母有理化，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 17. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是，由等边三角形的性质得，得到，则，由勾股定理求出，由翻折得，，则，，再根据线段的和差求出，最后由即可求解；二是，则，从而求出，根据勾股定理得，进而求出，则据线段的和差求出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图1，是直角三角形，且， 是等边三角形，， ， ， ， ， 由翻折得，， ，， ，， ； 如图2，是直角三角形，且，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 21. 已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式： （2）求时函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得是直角三角形，，在中，由勾股定理可得，在中，可得，则是等边三角形，所以，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，，点是边中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查的直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理的运用，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握勾股定理及其逆定理，证明是等边三角形是解题的关键． 23. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【小问1详解】 证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 25. 如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，点的坐标为或； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【小问1详解】 解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 26. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求长； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年八年级第一学期数学学科期末考查试卷 （时间：90分钟 总分：100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本考查试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形一个外角大于任何一个内角 B. 有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 化简：______． 8. 在实数范围内分解因式： ________． 9. 已知函数是正比例函数，则______． 10. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 11. 已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度． 12. 已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 _____． 13. 在直角坐标平面内点与点的距离等于________________． 14. 函数中自变量取值范围是______． 15. 如果函数，那么______． 16. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 17. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 18. 已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ____________________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19 计算：． 20. 用配方法解方程：． 21. 已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式： （2）求时的函数值． 22. 已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求度数． 23. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 25. 如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 26. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$