精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年高一上半期期末考试 数学试题 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 4. 已知集合，则集合A真子集个数为（ ） A. 32 B. 4 C. 5 D. 31 5. 若正实数满足，则的（ ） A. 最大值为9 B. 最小值为9 C. 最大值为8 D. 最小值为8 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数与函数是同一个函数 C. 函数中的表示不超过最大整数，则当的值为时， D. 若函数，则 10. 设，则下列不等式中不成立的是（ ） A B. C. D. 11. 已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设,，集合，求． 13. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______. 14. 已知函数的定义域为，给出下列两个条件①，②任取，都有恒成立，请写出一个同时满足条件①②的函数= ________ 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 16. 设集合． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a取值范围． 17. （1）已知，求最大值； （2）已知，求的最大值． 18. 已知不等式的解集为. （1）求m、n的值； （2）求不等式的解集. 19. 已知，为上三点. （1）求的值； （2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值； （3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一上半期期末考试 数学试题 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接进行交集运算即可求解. 【详解】因为集合，， 则， 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义求解． 【详解】命题“，”的否定是：，． 故选：B． 3. 设集合，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素的确定性可得或，再利用元素的互异性可确定，，从而可得正确的选项. 【详解】由，得或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，则或，由上知不合适，故，， 则. 故选：C. 【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题. 4. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A 32 B. 4 C. 5 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数. 【详解】∵ ∴为12的正约数，又， ∴ ，4，3，2，0 ∴集合， ∴ 集合A的真子集个数为31， 故选：D. 5. 若正实数满足，则的（ ） A. 最大值为9 B. 最小值为9 C. 最大值为8 D. 最小值为8 【答案】B 【解析】 【分析】由1的妙用结合基本不等式可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为9，无最大值. 故选：B 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由或，即可判断出结论. 【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立， 当时，若则，若，则，则必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 7. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，不等式的解集为，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得， 由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，. 故选：A. 8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由得 ， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是 故选：C． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数与函数是同一个函数 C. 函数中表示不超过最大整数，则当的值为时， D. 若函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义域即可求解A,B,由的定义可判断C，代入自变量的值即可判断D. 【详解】对于A;令，故定义域为，故A正确， 对于B; 的定义域为，的定义域为,定义域不同，故不是同一个函数， 对于C；，故正确， 对于D；由，取得 ，故正确， 故选：ACD 10. 设，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 11. 已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分类讨论可得结果. 详解】（1）当时，原不等式即，解得，故A正确； （2）当时，原不等式即， ① 当时，，解得，故B正确； ② 当时，，解得或，故D正确； ③ 当时，，解得，且； ④ 当时，，解得或. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设,，集合，求． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，集合， 又， ，即， ， ； 故，， 则， 故答案为： 【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点． 13. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，给出下列两个条件①，②任取，都有恒成立，请写出一个同时满足条件①②的函数= ________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取函数检验条件①②即可 【详解】取，则， 则，满足条件①； 任取，则 ， 因为，所以，即，满足条件②； 故答案为：（不唯一） 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集； （3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集. 小问1详解】 由，得不等式的解集为． 【小问2详解】 ，得不等式的解集为或 【小问3详解】 不等式等价于，解得，解集为. 16. 设集合． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证. （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 小问1详解】 依题意，，由，得， 则，整理得，解得或， 当时，，满足， 当时，，满足 所以或. 【小问2详解】 由，得， 当时，，即，解得或； 当为单元素集时，，即，解得或， 若，则，不符合要求；若，则，符合要求，则； 当为双元素集时，，则，无解， 所以实数的取值范围为. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解积的最大值； （2）对变形后利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为． （2）因为，所以， 所以． 当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为． 18. 已知不等式的解集为. （1）求m、n的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的端点为对应方程的解，代入即可得解； （2）由的值解分式不等式，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，所以， 不等式为， 解得，所以， 综上可得：； （2）由可得， 即 ，可得， 即解集为：. 19. 已知，为上三点. （1）求的值； （2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值； （3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）定值为：. 【解析】 【分析】（1）由为圆上的点即可得； （2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解； （3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可． 【详解】解：（1）∵为圆上， 所以 ∴ （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代入得， 所以 令，则， 当，即时面积取得最大值 （3）设直线和直线的斜率之积为 设，，则 ①， 因为，为圆上，所以， 化简得 整理得② 因为，所以 从而，又因为为曲线的动点 所以展开得 将①代入得 化简得 将②代入得 ，整理得 ， 因为所以从而 又所以 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$