精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年八年级上学期数学期末考试试题

试卷类型：A 2024-2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分150分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（本大题共6小题，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 3. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分．） 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数可能为（ ） A. B. C. D. 7. 某校为推进全员阅读活动，随机抽查了部分学生每周的课外阅读时间，制定如下统计表． 阅读时间/h 3 4 5 6 人数 17 30 19 34 下列关于学生每周的课外阅读时间的统计量说法中正确的是 A. 平均数为，它可以刻画学生每周的课外阅读时间的集中程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每周的课外阅读时间的集中程度 C. 众数为，它可以刻两学生每周的课外阅读时间的离散程度 D. 方差为，它可以刻两学生每周的课外阅读时间的离散程度 8. 分式方程有增根，则m的值可能为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，在中，为钝角，以点A为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点O，连接，下列结论正确的是 A. B. C. 平分 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共106分） 说明：将第1卷答案用0．5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题（本题共4小题，共16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 10. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________． 11. 某校为举行新年联欢，组建了男生、女生两个礼仪队、两队队员身高如下表（单位：厘米） 成员1 成员2 成员3 成员4 成员5 成员6 男生队 184 180 182 182 181 183 女生队 168 170 170 170 171 171 设男队、女队身高的方差分别是、，则_________．（填“>”“<”“=”） 12. 两个钉子P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为，测量得两个钉子间的距离为2，则木棍的长为_________． 13. 如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为_________． 四、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 14. （1）计算：． （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． 15. 解方程： （1）； （2）； （3）． 16. 如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画出图形． （1）画直线，射线，线段； （2）在直线上确定一点，使的值最小，并写出理由． 17. 如图，已知点A，O，B在同一条直线上，平分，，小莹根据以上条件，得出了“平分”这一结论，请你判断该结论是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的结论，并说明理由． 18. 对任意有理数，试判断整式与的值哪个更大，并说明理由． 19. 已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 20. 为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： （1）小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． （2）小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ （3）为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 21. 将一副三角板按如图1所示摆放，点A，C，O在直线上，现将三角板进行下面的操作． 操作一：保持三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转（如图2，图3），当三角板的边第一次与直线重合为止． 思考并回答下列问题： （1）当_____时，是的一条三等分线． （2）如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是_____． （3）如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 操作二：在三角板绕点顺时针开始旋转的同时，另一个三角板也绕点顺时针旋转，当三角板的边第一次与直线重合时，两三角板同时停止旋转． （4）若在旋转过程中，始终是的2倍，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2024-2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分150分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（本大题共6小题，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断逆命题的真假，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过分析四个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得到答案． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； B、如果，那么逆命题为：若，则，是假命题； C、两直线平行，内错角相等逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题； D、两个全等三角形的三对对应角相等逆命题为：三个角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； 故选：C ． 3. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 4. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键．先根据已知式子推出，再代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 5. 如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角外角的性质．熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．先证明，从而证得，再证明，得，然后利用三角形外角性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于点， ，，， ， ，， ， ∴， 在和中， ， ， ，　 故选：D． 二、多选题（本题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分．） 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．根据题意分类讨论，当顶角为钝角时，当顶角为锐角时，分别画出图形，根据等腰三角形的定义，以及直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 此时顶角的度数为． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴． 此时顶角的度数为， 故选：BC． 7. 某校为推进全员阅读活动，随机抽查了部分学生每周的课外阅读时间，制定如下统计表． 阅读时间/h 3 4 5 6 人数 17 30 19 34 下列关于学生每周的课外阅读时间的统计量说法中正确的是 A. 平均数为，它可以刻画学生每周的课外阅读时间的集中程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每周的课外阅读时间的集中程度 C. 众数为，它可以刻两学生每周的课外阅读时间的离散程度 D. 方差为，它可以刻两学生每周的课外阅读时间的离散程度 【答案】AD 【解析】 【分析】此题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟练掌握各统计量的求法和意义是解题的关键．求出平均数、方差、中位数、众数，根据结果进行判断即可． 【详解】解：A． 平均数为，它可以刻画学生每周的课外阅读时间的集中程度，故选项正确，符合题意； B．∵总人数有人，则第个，个数据的平均数即为中位数； ∴中位数为，故选项错误，不符合题意； C． ∵出现次数最多的是， ∴众数是，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度，故选项错误，不符合题意； D． 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度．故选项正确，符合题意． 故选：AD 8. 分式方程有增根，则m的值可能为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，理解分式方程的增根的意义是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得到，再根据分式方程的增根为或，代入求出的值即可解答． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 分式方程有增根， 或， 或 解得：或． m的值可能为8或12． 故选：BD． 9. 如图，在中，为钝角，以点A为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点O，连接，下列结论正确的是 A. B. C. 平分 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识．过点A作过点A作，证明，利用全等三角形的性质依次判断ABD，再由结论出发证明即可判断C． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确； ∵， ∴， ∴，即，故B正确； 如图，过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， 即，故D正确； 若平分，则， 而，， ∴， ∴， 由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故C错误； 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共106分） 说明：将第1卷答案用0．5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题（本题共4小题，共16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 10. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 11. 某校为举行新年联欢，组建了男生、女生两个礼仪队、两队队员身高如下表（单位：厘米） 成员1 成员2 成员3 成员4 成员5 成员6 男生队 184 180 182 182 181 183 女生队 168 170 170 170 171 171 设男队、女队身高的方差分别是、，则_________．（填“>”“<”“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，解题关键是熟练掌握方差的计算公式：．先求出平均数，再根据方差的公式计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 两个钉子P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为，测量得两个钉子间的距离为2，则木棍的长为_________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了线段和和差和一元一次方程，解题关键是理解P和Q在木棍上的位置关系， 根据已知条件确定木棍的位置，通过线段和差关系，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为， 设， ∴当点P靠近左端时，，， ∴， ∵两个钉子间的距离为2， ∴ 解得：， 当点P靠近右端时，，， ∴， ∵两个钉子间的距离为2， ∴， 解得：， ∴木棍的长为． 故答案为：21． 13. 如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，利用等边三角形的性质证出是解题的关键．连接、，连接交于点，由菱形的性质和可得出是等边三角形，进而得出垂直平分，得到，则有，再证出，利用全等三角形的性质求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 四、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 14. （1）计算：． （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算中的化简求值； （1） 先计算乘方，绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可；再把整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ， ∵， 原式． 15. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）直接把未知数的系数化为1即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项，然后将未知数的系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得： 16. 如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画出图形． （1）画直线，射线，线段； （2）在直线上确定一点，使的值最小，并写出理由． 【答案】（1） 解：如图，故直线、射线、线段为所求作； （2）解：如图，点为所求作； 理由：两点之间，线段最短． 【解析】 【分析】本题考查了画直线、射线、线段及两点之间，线段最短； （1）根据要求画出直线，射线，线段，即可求解； （2）由两点之间，线段最短得连接交直线于，即可求解； 掌握两点之间，线段最短，会根据直线、射线、线段的定义画图是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，已知点A，O，B在同一条直线上，平分，，小莹根据以上条件，得出了“平分”这一结论，请你判断该结论是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】正确， 理由如下：因为， 所以， 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以平分． 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由得到，，再结合角平分线的性质，得出，即可得出结论． 【详解】略 18. 对任意有理数，试判断整式与的值哪个更大，并说明理由． 【答案】值更大， 对任意有理数都有， ， ， ， 故整式值更大． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是作差比较两个整式的大小关系、整式的加减运算、平方的非负性，解题关键是掌握作差法比较整式大小． 先作差，再根据平方的非负性判断作差后得到的整式与的大小关系，大于则被减整式大． 【详解】略 19. 已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 【答案】第一种情况：如图所示，点在中间， 图 第二种情况：如图所示，点在延长线上， 图 或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差，解题关键是理解线段的和差关系． 分两种情况解答：点在中间；点在延长线上，画出图形后根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：第一种情况：点在中间， ，， ， 是线段的中点， ， ； 第二种情况：点在延长线上， ，， ， 是线段的中点， ， ． 综上，线段的长度为或． 20. 为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： （1）小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． （2）小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ （3）为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 【答案】（1）390 （2）小亮家2023年共使用自来水190立方米 （3）小亮家2024年比2023年缴费金额少249元 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯，再用用水量第一阶梯水价计算即可； （2）设小亮家2023年共使用自来水立方米，先推断出小亮家的用水量在第二阶梯，再列方程求解即可； （3）根据题意得到2024年用水130立方米，再计算出小亮家2024年的缴费金额，再作差即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯， （元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设小亮家2023年共使用自来水立方米， 因为，， 所以， 所以， 所以小亮家的用水量在第二阶梯． 则， 解得， 答：小亮家2023年共使用自来水190立方米． 【小问3详解】 解：因为2024年比2023年节约用水60立方米， 所以2024年用水130立方米， （元）， 答：小亮家2024年比2023年缴费金额少249元． 21. 将一副三角板按如图1所示摆放，点A，C，O在直线上，现将三角板进行下面的操作． 操作一：保持三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转（如图2，图3），当三角板的边第一次与直线重合为止． 思考并回答下列问题： （1）当_____时，是的一条三等分线． （2）如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是_____． （3）如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 操作二：在三角板绕点顺时针开始旋转的同时，另一个三角板也绕点顺时针旋转，当三角板的边第一次与直线重合时，两三角板同时停止旋转． （4）若在旋转过程中，始终是的2倍，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）15或30； （2）； （3）成立； 理由如下： 如图， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （4） 【解析】 【分析】本题考查了动角问题，角的和差等；能熟练利用角的和差表示出所求的角，并能根据角的不同位置进行分类讨论是解题的关键． （1）分类讨论：当时，当时，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； （3）由角的和差得，，即可求解； （4）分类讨论：①当，位于直线的两侧时，由角的和差得，，即可求解；②如图，当，位于直线的同侧时，同理可求； 【详解】解：（1）如图，当时， 则； 如图，当时， 则； 所以； 故答案为：或； （2）因为，， 所以，， 所以； 故答案为：； （3）略 （4） ①如图，当，位于直线的两侧时， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 所以； ②如图，当，位于直线的同侧时， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $