精品解析：重庆市大渡口区2024-2025学年九年级上学期第一次适应性检测数学试题

2024-2025学年度九年级第一次适应性检测数学卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 6. 估计的值应在（） A 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 7. 如图，要使平行四边形成为菱形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 在正方形中，点是上一点，，，点是的中点，点在上，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 已知，，为正整数．下列说法： 始终大于； 若，则随的增大而增大； 若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是关于一元二次方程的一个根，则的值为_____． 12. 如果，那么_____． 13. 甲，乙两名同学分别从某月1号，2号，3号中随机选择一天外出游玩，甲、乙恰好选择相邻两天的概率_____． 14. 如图，点A在反比例函数图象上，过点A作轴于点，连接，若的面积为2，则________． 15. 如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ____________________． 16. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为_____． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点．已知，，，则的长为_____． 18. 一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的的最小值是_____． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19 解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 20. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点E，F分别是AC，AB边上的点，连结EF，且EF⊥AB． （1）求证：△ABC∽△AEF； （2）若AE=4，求△AEF的面积． 21. 某校从七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了中华民族优秀传统文化知识竞赛，并对竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．．下面给出了部分信息：七年级被抽取的10名学生竞赛成绩是：76，78，79，84，88，88，89，94，96，98．八年级被抽取的10名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，84，89，89． 七、八年级被抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 88 八年级 87 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中华民族优秀传统文化知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生550人，七年级有学生600人，估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有多少人? 22. 如图，，平分，且交于点． （1）作的平分线交于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， ， 又， 四边形是菱形． 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. （1）求2，3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 24. 如图1，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，过点作于点的长为，点的运动时间为． （1）直接写出与之间函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 26. 如图，在等边中，点是平面内一点． （1）如图1，若点在的延长线上，且，，求的长； （2）如图2，若点在的垂直平分线上，交于点，点是的中点，连接，，，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在的延长线，连接，点是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第一次适应性检测数学卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、是是一元二次方程，故此选项符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 下图是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据题意和三视图即可得，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，这个几何体的左视图为， 故选：D． 3. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的待定系数法，掌握待定系数法是解题的关键．将点代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的面积之比为， 故选：C． 5. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：a的值为； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6. 估计的值应在（） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 7. 如图，要使平行四边形成为菱形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案． 【详解】A、∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，不是菱形．故本选项错误； B、添加不能证明平行四边形是菱形，故本选项错误； C、∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，故本选项错误； D、∵四边形是平行四边形，∴当时四边形是菱形，故本选项正确； 故选 D． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法． 8. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 9. 在正方形中，点是上一点，，，点是的中点，点在上，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解，，，如图，过作于，延长交的延长线于，设，证明，，可得 ，求解，，，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正方形，点是的中点， ∴，，， ∴， 如图，过作于，延长交的延长线于，设， 结合正方形的性质可得：，， ∴，，， ∴ ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 已知，，为正整数．下列说法： 始终大于； 若，则随的增大而增大； 若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法，一次函数的性质，不等式的应用，通过展开并比较和的差值，即可判断，通过一次函数的性质即可判断；分析其符号及变化趋势，再结合不等式条件确定m的值，即可判断，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为正整数，， ∴，说法正确； 由， ∵， ∴随的增大而增大，说法正确； 由， ∴， ∵整数的取值为，共有（个）， 由当仅有个整数时，， 解得， 验证此时的取值为，符合条件，说法正确， 综上，均正确，共个， 故选：． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是建立关于a的一元一次方程，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 12. 如果，那么_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；因此此题可根据题意设，然后代入求解即可． 【详解】∵， ∴设， ∴． 故答案为：3． 13. 甲，乙两名同学分别从某月1号，2号，3号中随机选择一天外出游玩，甲、乙恰好选择相邻两天的概率_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率、树状图或列表法求概率；求出所有可能结果数是解题的关键； 列表，由表即可得所有可能结果数，两人选择相邻两天的结果数，由概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 1，1 1，2 1，3 2 1，2 2，2 2，3 3 1，3 2，3 3，3 由表知，所有可能结果数共有9种，两人选择相邻两天的结果数有4种， ∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为． 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数图象上，过点A作轴于点，连接，若的面积为2，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k的值． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则． 故答案为：4． 15. 如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，翻折定义，勾股定理．根据题意可得，再利用翻折的性质得，，，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中：， 解得：， 故答案为：． 16. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点．已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确构造相似三角形是解题的关键．过作交于点，由与即可求解． 【详解】解：过作交于点， 中，对角线与相交于点， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 ①. 9873 ②. 2415 【解析】 【分析】根据“差方数”的特点，求出满足条件的的最大值即可；先根据题意求出，，代入求出，然后根据“差方数”的特点，从最小的“差方数”开始，依次进行验证，找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵是一个“差方数”， ∴要使取最大值，则千位上的数取最大值9，百位上的值取8，十位上的数字取7， 又∵， ∴的最大值是9873； ∵， ∴， ， ∴ ， ∵是一个“差方数”， ∴的结果是一个完全平方数， ∴，即， 又∵各数位上数字均不相等且不为0， ∴要使M最小，则的最小值为2，的最小值为1，b的最小值为3， ∵当时，， ∴是“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∵当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∴b取最小值为3时，没有符合题意的“差方数”； 取最小值2，取最小值1，b取4， 当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，是整数，符合题意； ∴M的最小值为2415． 故答案为：9873． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 【答案】（1）x1＝－6，x2＝0；（2）x1＝－3，x2＝1． 【解析】 【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可； (2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可. 【详解】(1)解： (x＋3＋3)(x＋3－3)＝0． (x＋6)x＝0， x＋6＝0或x＝0， ∴x1＝－6，x2＝0． (2)解： (x＋3)(x－1)＝0， x＋3＝0或x－1＝0， ∴x1＝－3，x2＝1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键. 20. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点E，F分别是AC，AB边上的点，连结EF，且EF⊥AB． （1）求证：△ABC∽△AEF； （2）若AE=4，求△AEF的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=90°，EF⊥AB，可得∠AFE=∠ACB=90°，即可证明； （2）根据30°直角三角形性质先求EF，再根据勾股定理求出AF，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，EF⊥AB， ∴∠AFE=∠ACB=90° ， 又∵∠A=∠A ， ∴△ABC∽△AEF ； （2）∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠A=30° ， 在△AEF中，∠AFE=90°，∠A=30°，AE=4， ∴ ， ∴ ， ∴S△AEF． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与30°直角三角形选项，勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与30°直角三角形的性质，以及勾股定理的应用． 21. 某校从七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了中华民族优秀传统文化知识竞赛，并对竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．．下面给出了部分信息：七年级被抽取的10名学生竞赛成绩是：76，78，79，84，88，88，89，94，96，98．八年级被抽取的10名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，84，89，89． 七、八年级被抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 88 八年级 87 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中华民族优秀传统文化知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生550人，七年级有学生600人，估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀的学生人数总共有多少人? 【答案】（1）89，88，40 （2）八年级学生对中华民族优秀传统文化知识掌握较好，利用见解析 （3）400人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义可得的值；用“1”分别减去其它部分占比可得m的值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （2）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：八年级组有人数为：（人）， 所以把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 故中位数是， 在七年级10名学生的竞赛成绩中88出现的次数最多，故众数； ，即 故答案为：89，88，40； 【小问2详解】 解：八年级学生对中华民族优秀传统文化知识掌握较好，理由如下： 七、八年级的平均分均为87分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生对中华民族优秀传统文化知识掌握较好； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级学生中中华民族优秀传统文化知识为优秀（）的学生人数总共有400人． 22. 如图，，平分，且交于点． （1）作的平分线交于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， ， 又， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线即可； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，从而得到，推出，同理可得，从而得到，根据得到四边形是平行四边形，最后根据即可得证． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所作， 【小问2详解】 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， 同理可证， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，菱形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. （1）求2，3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为 （2）该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 24. 如图1，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，过点作于点的长为，点的运动时间为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 【答案】（1） （2）作图见解析，性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】(1）分点D在和上两种情况，根据角的正弦列比例式即可解答； (2）令和画图象，并根据图象上升得增减性的性质； (3）当直线在的位置时，为直线与该函数图象有且只有2个交点的临界点，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴由勾股定理得，， 当点在上时，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 当点在上时，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 综上所述：； 【小问2详解】 解：关于的函数图象如图： 性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）， 【小问3详解】 解：如图， 由图可知，当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴函数图象与轴交点为， 对于直线变形为：， ∴过定点， 当直线在位置时，为直线与该函数图象有2个交点的临界位置， ∴将代入得，， 解得：， 将点代入得，， 解得：， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键． （1）先求出点，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）联立直线与反比例函数解析求得，联立直线与直线求得，而，设，过点作轴交直线于点，可求，则，当点在直线右侧时，可得，由，得到，则；当点在直线作侧时，此时，同理可求； （3）如图，过点作于点，由可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，则，故，那么或，即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立直线与反比例函数解析式得，， ∴， 解得：或， ∴， 联立直线与直线得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴，如图： 当点在直线右侧时，∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在直线作侧时，∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则； ∵， ∴点距离轴和轴的距离相等且为， ∴直线与轴负半轴夹角为， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 26. 如图，在等边中，点是平面内一点． （1）如图1，若点在的延长线上，且，，求的长； （2）如图2，若点在的垂直平分线上，交于点，点是的中点，连接，，，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在的延长线，连接，点是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得：，得出，求出x的值，即可得出答案； （2）延长，截取，连接，，证明，得出，证明，得出，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，最后得出结果即可； （3）连接并延长，取，连接并延长，过点P作，交于点G，连接，取的中点H，连接并延长，交于点F，过点C作于点E，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，根据中位线性质证明，根据为中点，为中点，得出，说明点M一定在过点H平行于的直线上，根据垂线段最短，得出当在点E处时，最小，即最小，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：；理由如下： 延长，截取，连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接并延长，取，连接并延长，过点P作，交于点G，连接，取的中点H，连接并延长，交于点F，过点C作于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∴点M一定在过点H平行于直线上， ∵垂线段最短， ∴当点E处时，最小，即最小， ∵为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，中位线性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $