精品解析：四川省成都市天府新区2024—2025学年九年级上学期期末考试（一模）数学试卷

2024-2025学年上期九年级 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔准确填涂作答；A卷的第Ⅱ卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是（是常数且）一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 根据一元二次方程的概念即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C ． 2. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形． 【详解】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3. 为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（ ） A. 800 B. 1200 C. 2000 D. 3000 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以池塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，在中，E，F分别是和上的点，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理判断A、B、C选项，由得到即可判断D． 【详解】解：∵， ∴，，故A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意； 对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选：C． 6. 将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 根据题意列方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得，， 故选：A ． 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. 图象经过点 C. 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故该选项不符合题意； B、， 反比例函数图象不经过点， 故该选项不符合题意； C、设， ， 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1， 故该选项符合题意； D、当时，， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 10. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k-3>0，解可得k的取值范围． 【详解】根据题意,在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小， 即可得k−3>0， 解得k>3. 故答案为k>3 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0 11. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：过点作于点延长交于点， ∴ 由题意得 ∴， ∴，， ∴即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则，结合角平分线的定义可得，则，进而可得，，则 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 13. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，0指数幂，负整数指数幂，解一元二次方程等知识，解题关键是牢记运算法则． （1）利用运算法则按顺序计算即可； （2）先将方程化为一般形式，再利用公式法即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 2024年9月，成都非遗生活季暨天府新区十年非遗万千气象展启幕，活动以“非遗万象贺佳节，天府之檐共团圆”为主题，推出了四大主题活动以及汉服巡游、月华水舞、湖畔集市、升月祈福四场配套活动，展示了新区在非遗保护与发展方面的丰硕成果，献礼四川天府新区获批国家级新区十周年．为了解广大游客对以上四场活动的喜好程度，工作人员随机抽取部分游客开展了“你最喜欢哪一场配套活动”的投票活动，要求必选且只选一种．并根据投票结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（活动项目汉服巡游、月华水舞、湖畔集市、升月祈福分别用表示） （1）本次调查共抽取了______名游客，请补全条形统计图； （2）请求出扇形统计图中B“月华水舞”对应的圆心角的度数； （3）甲乙两名游客一起参加了投票活动，请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两位游客喜欢相同活动的概率． 【答案】（1）80； 补全条形统计图如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．还考查了条形统计图和扇形统计图． （1）用C湖畔集市的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，根据题意补全统计图即可； （2）用乘以B“月华水舞”人数所占的百分比得到B“月华水舞”对应的圆心角度数； （3）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲、乙两位游客喜欢相同活动的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（名）， D“升月祈福“：（名）， B“月华水舞”：名）， 答：本次调查共抽取了80名游客， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：扇形统计图中B“月华水舞”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：根据题意画图 共有16种等可能的情况数，其中甲、乙两位游客喜欢相同活动的有4种， 则甲、乙两位游客喜欢相同活动的概率为． 15. 在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 【答案】美术馆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设米，米，可证，得出，得到，根据相似三角形的判定得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设米，米， 由题得，， ， ， 米，米， ， ， ，， ， ， 米，米，米， ， ； 美术馆的高度为米 ． 16. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，得，由，，证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，可证明四边形是平行四边形，而，，则四边形是菱形，，所以，，，求得，则，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形及是解题的关键． 17. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标； （2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案； （3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为： ∵一次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 联立反比例函数和一次函数解析式得，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为， 设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点， ∵， ∴设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 当点在第一象限时，如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时，如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得： ∴ 综上所述：点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 18. 已知关于的方程的一个根是，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，若是一元二次方程（是常数且）的两个根，则，． 设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，计算即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， ， ， 故答案为： ． 19. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 20. 2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵若点C可看作是线段的黄金分割点，且， ∴． 又∵， ∴ 故答案为：． 21. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．设“减半矩形”的一边长为x，则其邻边长为，根据“减半矩形”的面积为已知矩形面积的一半，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再利用勾股定理，即可求出“减半矩形”的对角线长． 【详解】解：设“减半矩形”的一边长为，则邻边为， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 所以 所以“减半矩形”的对角线长为． 故答案为：． 22. 如图，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点且满足，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．作轴于点，轴于点，利用相似三角形的性质得出，设点的坐标为，据此表示出点和点的坐标，进而表示出点的坐标，再利用的面积得出的面积，并据此列出算式即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，连接， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， 则点的坐标为， 关于原点对称， 点的坐标为， 连接， 的面积为， 的面积为， 作轴于点； ，， ， ， 解得：， 故答案为： ． 23. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与轴对称有关的最短路径问题，涉及到了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，找出最短路径并求解．本题应先求出，再确定出最小值为，利用相似三角形的判定与性质和面积法进行求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 如图，过M点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于的轴对称图形，记为，G为的中点，连接与交于点R， ∴，， ∴， 过G点作于H， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）2023年、2024年这两年的平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 25. 如图1，已知，，，连接，． （1）当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是发现图中的相似三角形，以及正确作辅助线构造直角三角形． （1）利用，得出，，进一步求出，利用相似三角形的性质即可求得； （2）先求出，得到，证明出，利用相似的性质求出后即可求解； （3）证明，求出，过B点作于K，求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过B点作于K， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为． （1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值； （2）若， ①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标； ②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上． 解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，设点，点．由题意列方程，即可依次求解； （2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，得点，点，进而得方程组，解之即可； ②阅读题中所给例子，设，得点，点， 进而得，点Q在一次函数的图象上，作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时， 的值最大，根据两点间的距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：轴，轴， 设点，点． 点， 点，点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①由题意可知：轴，轴， 设，点，点． 点P的“1双曲点”为点， 点，点， ， ， （负值已舍去）， ； ②点P在一次函数的图象上，设， 由题意可知：轴，轴， 设点，点． 点，点， 点Q为点P的“1双曲点”， ， ， 所以点Q在一次函数的图象上， 作关于直线的对称点， 交直线于点D， 作轴于， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 关于直线对称， ， ， 当，，三点共线时，， 此时的值最大， ， ， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义下反比例函数与一次函数的综合，涉及轴对称及解直角三角形相关知识，理解题意，作出适当的辅助线是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期九年级 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔准确填涂作答；A卷的第Ⅱ卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（ ） A. 800 B. 1200 C. 2000 D. 3000 4. 如图，在中，E，F分别是和上的点，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 6. 将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. 图象经过点 C. 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D. 若点，都在图象上，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 10. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是__________. 11. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为______． 12. 如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 13. （1）计算： （2）解方程： 14. 2024年9月，成都非遗生活季暨天府新区十年非遗万千气象展启幕，活动以“非遗万象贺佳节，天府之檐共团圆”为主题，推出了四大主题活动以及汉服巡游、月华水舞、湖畔集市、升月祈福四场配套活动，展示了新区在非遗保护与发展方面的丰硕成果，献礼四川天府新区获批国家级新区十周年．为了解广大游客对以上四场活动的喜好程度，工作人员随机抽取部分游客开展了“你最喜欢哪一场配套活动”的投票活动，要求必选且只选一种．并根据投票结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（活动项目汉服巡游、月华水舞、湖畔集市、升月祈福分别用表示） （1）本次调查共抽取了______名游客，请补全条形统计图； （2）请求出扇形统计图中B“月华水舞”对应的圆心角的度数； （3）甲乙两名游客一起参加了投票活动，请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两位游客喜欢相同活动的概率． 15. 在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 16. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 17. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 18. 已知关于的方程的一个根是，则另一个根为______． 19. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ． 20. 2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为______．（结果保留根号） 21. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为______． 22. 如图，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点且满足，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，若的面积为，则的值为______． 23. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 25. 如图1，已知，，，连接，． （1）当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为． （1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值； （2）若， ①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标； ②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上． 解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $