精品解析：2024年辽宁省沈阳市第七中学中考数学全真模拟试卷

2024届辽宁省沈阳七中学中考数学全真模拟试卷 注意事项 1.考生要认真填写考场号和座位序号． 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为(　　) A. 55×103 B. 5.5×104 C. 5.5×105 D. 0.55×105 2. 如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（　　） A. 点A落在BC边的中点 B. ∠B+∠1+∠C=180° C. △DBA是等腰三角形 D. DE∥BC 3. 如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF为边长的正方形面积（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 16 4. 函数y=中自变量x的取值范围是 A. x≥0 B. x≥4 C. x≤4 D. x>4 5. 下列各式中，变形错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形又是中心对称图形 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 9. 已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 12. 在平面直角坐标系中，点P到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标________________. 13. 若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a＝_____． 14. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__． 15. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，则下列结论：①，②，③为等边三角形，④当时，.请将正确结论的序号填在横线上__. 16. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 18. 已知函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）． （1）求实数a的值； （2）设一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，求点C的坐标． 19. （1）解不等式组：； （2）解方程：. 20. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G． （1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长； （2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 （1）的长等于_______， （2）当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 22. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元． （1）求每张门票原定的票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率． 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴交于两点，过作垂直于轴于点.已知. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象:当时，比较. 24. 已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； （2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届辽宁省沈阳七中学中考数学全真模拟试卷 注意事项 1.考生要认真填写考场号和座位序号． 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为(　　) A. 55×103 B. 5.5×104 C. 5.5×105 D. 0.55×105 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4， 所以，55000用科学记数法表示为5.5×104， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（　　） A. 点A落在BC边的中点 B. ∠B+∠1+∠C=180° C. △DBA是等腰三角形 D. DE∥BC 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确． 【详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作． 3. 如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF为边长的正方形面积（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和折叠性质可得△EHC≌△FBC，从而可得BF=HE=DE，设BF=EH=DE=x，则AF=CF=9﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF2=EG2+GF2可得答案． 【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠D=∠B=90°， 根据折叠的性质，有HC=AD，∠H=∠D，HE=DE， ∴HC=BC，∠H=∠B， 又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°， ∴∠HCE=∠BCF， 在△EHC和△FBC中， ∵， ∴△EHC≌△FBC， ∴BF=HE， ∴BF=HE=DE， 设BF=EH=DE=x， 则AF=CF=9﹣x， 在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得x2+32=（9﹣x）2， 解得：x=4，即DE=EH=BF=4， 则AG=DE=EH=BF=4， ∴GF=AB﹣AG﹣BF=9﹣4﹣4=1， ∴EF2=EG2+GF2=32+12=10， 故选B． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键. 4. 函数y=中自变量x的取值范围是 A. x≥0 B. x≥4 C. x≤4 D. x>4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4， 则自变量x的取值范围是x≥4． 故选B． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数． 5. 下列各式中，变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案． 【详解】A. ，故A正确； B、分子、分母同时乘以−1，分式的值不发生变化，故B正确； C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确； D. ，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变． 6. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项的点逐一代入即可判断． 【详解】解：当x=1时，y=-1，故点不在二次函数的图象； 当x=2时，y=-4，故点和点不在二次函数的图象； 当x=-2时，y=-4，故点在二次函数的图象； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式． 7. 下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确； C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确； 故选C． 考点：菱形的性质 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 9. 已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的右侧知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，y有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤． 【详解】解：①由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的右侧知：， ∴，故①错误； ②对称轴为直线， ， 即， ∴，故②错误； ③由抛物线的性质可知，当时，y有最小值， 即， 即，故③正确； ④因为抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 所以另一个交点的横坐标为．因此方程的两根分别是1，．故④正确； ⑤由图像可得，当时，， 即：，故⑤正确． 故正确选项有③④⑤共3个， 故选：B． 10. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴, 故答案为：2.5． 12. 在平面直角坐标系中，点P到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标________________. 【答案】（写出一个即可） 【解析】 【详解】【分析】根据点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】设P（x，y）， 根据题意，得 |x|=2，|y|=1， 即x=±2，y=±1， 则点P的坐标有（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1）， 故答案为（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1）（写出一个即可）. 【点睛】本题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离之间的关系．熟知点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值是解题的关键． 13. 若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a＝_____． 【答案】0 【解析】 【分析】利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab，将a2+3=2b代入可求出其值． 【详解】解：∵a2+3=2b， ∴a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=0， 故答案为0． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键． 14. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__． 【答案】4或8 【解析】 【详解】∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2， ∴另一个圆的半径=6-2=4； 或另一个圆的半径=6+2=8， 故答案为4或8． 【点睛】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论． 15. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，则下列结论：①，②，③为等边三角形，④当时，.请将正确结论的序号填在横线上__. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①； ②先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②； ③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③； ④当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，进而判断④． 【详解】①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正确； ②在△ABM与△ACN中， ∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴，错误； ③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM=∠ACN=30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形，正确； ④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N， ∴∠BNC=90°，∠BCN=45°， ∵P为BC中点，可得BC=PB=PC，故④正确． 所以正确的选项有：①③④ 故答案为①③④ 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 16. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值． 【详解】解：联立两函数解析式成方程组，得：， 解得：． ∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2． ∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可； （2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出． 【详解】解：（1）当时，函数的值为-2， ∴点的坐标为 ∵四边形为矩形， 解方程，得． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． （2）解方程，得． 由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质． 18. 已知函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）． （1）求实数a的值； （2）设一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，求点C的坐标． 【答案】（1）a=1；（2）C（0，﹣6）或（0，2）． 【解析】 【分析】（1）把 A（3，n）代入y=（x＞0）求得 n 的值，即可得A点坐标， 再把A点坐标代入一次函数 y=ax﹣2 可得 a 的值；（2）先求出一次函数 y=ax﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交点 B 的坐标，再分两种情况（①当C点在y轴的正半轴上或原点时；②当C点在y轴的负半轴上时）求点C的坐标即可． 【详解】（1）∵函数 y=（x＞0）的图象过（3，n）， ∴3n=3， n=1， ∴A（3，1） ∵一次函数 y=ax﹣2（a≠0）的图象过点 A（3，1）， ∴1=3a﹣1， 解得 a=1； （2）∵一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交于点 B， ∴B（0，﹣2）， ①当C点在y轴的正半轴上或原点时， 设 C（0，m）， ∵S△ABC=2S△AOB， ∴×（m+2）×3=2×2××3， 解得：m=2， ②当C点在 y 轴的负半轴上时， 设（0，h）， ∵S△ABC=2S△AOB， ∴×（﹣2﹣h）×3=2×2××3， 解得：h=﹣6， ∴C（0，﹣6）或（0，2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第（2）问时要注意分类讨论，不要漏解． 19. （1）解不等式组：； （2）解方程：. 【答案】（1）﹣2≤x＜2；（2）x=． 【解析】 【分析】（1）先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）， ∵解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2； （2）方程两边都乘以（2x﹣1）（x﹣2）得 2x（x﹣2）+x（2x﹣1）=2（x﹣2）（2x﹣1）， 解得：x=， 检验：把x=代入（2x﹣1）（x﹣2）≠0， 所以x=是原方程的解， 即原方程的解是x=． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1 ）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． 20. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G． （1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长； （2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由． 【答案】（1）6π； （2）GB=DF， 理由如下：延长GB交DF于H． ∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG， ∴△FDC≌△GBC． ∴GB=DF． 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式l= 计算即可； （2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系． 【详解】解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°， ∴弧DE的长 l1= =π， 同理弧EF的长 l2= =2π，弧FG的长 l3= =3π， 所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π． （2）略 【点睛】本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 （1）的长等于_______， （2）当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 【答案】（1） （2） 取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 【解析】 【分析】本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元． （1）求每张门票原定的票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）400（2）10% 【解析】 【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可； （2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元， 根据题意得：， 解得x=400． 经检验，x=400是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为400元； （2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 ， 解得： （不合题意，舍去）． 答：平均每次降价10%． 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴交于两点，过作垂直于轴于点.已知. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象:当时，比较. 【答案】（1）;（2） 【解析】 【分析】（1）由一次函数的解析式可得出D点坐标，从而得出OD长度，再由△ODC与△BAC相似及AB与BC的长度得出C、B、A的坐标，进而算出一次函数与反比例函数的解析式； （2）以A点为分界点，直接观察函数图象的高低即可知道答案． 【详解】解：（1）对于一次函数y=kx-2，令x=0，则y=-2，即D（0，-2）， ∴OD=2， ∵AB⊥x轴于B， ∴ ， ∵AB=1，BC=2， ∴OC=4，OB=6， ∴C（4，0），A（6，1） 将C点坐标代入y=kx-2得4k-2=0， ∴k=， ∴一次函数解析式为y=x-2； 将A点坐标代入反比例函数解析式得m=6， ∴反比例函数解析式为y=； （2）由函数图象可知： 当0＜x＜6时，y1＜y2； 当x=6时，y1=y2； 当x＞6时，y1＞y2； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟悉函数图象上点的坐标特征和待定系数法解函数解析式的方法是解答本题的关键，同时注意对数形结合思想的认识和掌握． 24. 已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； （2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根． 【答案】（1）a=，方程的另一根为； （2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0. ②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0． 当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1； 当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1． 综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可； （2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x＝2代入方程，得，解得：a＝． 将a＝代入原方程得，解得：x1＝，x2＝2． ∴a＝，方程的另一根为； （2）略 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $