精品解析：广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题

广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A B. C. 11 D. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 5. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 8. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合形目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量（单位：kg），结果如下： 下列说法正确的是（ ） A. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B. 该水果店过去10天大泽脐橙日销售量的平均数大于98 C. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104 10. 已知抛物线的焦点为F，O为原点，点为抛物线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 若，则 C. 过点的直线与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 D. 点是直线上一动点，则|PQ|的最小值是 11. 已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不论取何值，四点都共面 D. 若，则点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据9，15，13，11，12的方差是_______________. 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则______________. 14. 江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为______________；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为______________. 四、解答题，本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过两条直线和交点，且垂直于直线，圆经过三点. （1）求直线与圆的方程； （2）求直线被圆所截得的弦长. 16. 盘，全称USB闪存驱动器，它是一种使用USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的盘，其中银色盘4个，黑色盘3个，从中任取2个盘. （1）求取出的2个盘都是黑色盘的概率； （2）如果是4个银色盘，个黑色盘，已知取出的2个盘都是银色的概率为，那么是多少？ 17. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线BC与平面所成角的余弦值. 18. 已知点是双曲线一个焦点，且过点. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）直线与双曲线相交于A，B两点，若，求的面积； （3）直线与双曲线有唯一公共点，过点与直线垂直的直线分别交轴，轴于点，当运动时，求点的轨迹方程. 19. 已知椭圆，短轴长为2，离心率为，过点的直线交椭圆于A，B两点，点为椭圆的右顶点（A，B，D三点不共线）（如图1）. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线与的斜率之积为定值； （3）以椭圆的长轴为旋转轴，将椭圆旋转，得到椭圆（如图2所示，椭圆在平面内，椭圆在平面内），椭圆上是否存在定点，使得平面平面恒成立？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】求出全体队员中女队员所占比例，再按等比例抽取样本即可. 【详解】解：因为全体队员中女队员所占比例为，所以样本中女队员应抽取的人数为. 故选：C 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率后可得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 故，故， 故选：C. 3 已知，且，则（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量垂直数量积为零求出的值，再求出的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】因为且， 所以， 所以，则， 所以， 故选：B. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系可得两圆的位置关系. 【详解】由题，， 故， 故，故， 故两圆相交. 故选：A 5. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立以为原点，以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，根据点到直线AE的距离为计算即可解决. 【详解】由题知，棱长为2的正方体中，为线段的中点， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向空建立空间直角坐标系 ，所以 所以, 所以点到直线的距离为, 故选：B 6. 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件可求能中奖的概率. 【详解】设为“从一箱中随机抽出2盒，能中奖”， 则， 故选：B. 7. 已知点分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得的关系，从而可得离心率. 【详解】由题设有，其中为半焦距，则 设的中点为，则，且，， 故，故， 故选：D. 8. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合形目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量（单位：kg），结果如下： 下列说法正确是（ ） A. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98 C. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104 【答案】BC 【解析】 【分析】先将10个数由小到大排列，再根据公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】10个数由小到大为：， 故中位数为，故A错误； 平均数为, 故B正确； 极差为，故C正确； 因为，故第70百分数为，故D错误， 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为F，O为原点，点为抛物线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 若，则 C. 过点的直线与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 D. 点是直线上一动点，则|PQ|的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线方程可得准线方程，故可判断A的正误，根据焦半径公式可判断B的正误，联立直线方程和抛物线方程结合弦长公式可判断C的正误，根据点到直线距离的公式计算最小值后可判断D的正误. 【详解】由抛物线方程为，故焦点坐标为，准线方程为：， 故A错误， 若，则，故，故B正确； 对于C，因为为线段的中点，故不垂于坐标轴， 设，， 则可得， 故，故， 故，故C正确； 对于D，设，直线， 则， 当且仅当且时等号成立，故D成立. 故选：BCD. 11. 已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不论取何值，四点都共面 D. 若，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的垂直关系可判断A的正误，根据向量模的计算可判断B的正误，根据四点共面的判断方法可判断C的正误，取，则可得点到平面的距离即为，故可判断D的正误. 【详解】对于A，，因为，故， 所以， 因为单位向量两两的夹角为，所以， 所以，故，故A正确； 对于B，，因为单位向量两两的夹角为， 故即，故B错误； 对于C，， 所以，，， 故，故， 又共起点，故四点共面，故C正确； 对于D，， 取，则， 因为，故共面，而，， 因为单位向量两两的夹角为，所以， 则， 故，同理，故平面， 故到平面的距离为 故D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：对于与空间向量基底有关的问题，注意转化为基底向量的代数形式来处理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据9，15，13，11，12的方差是_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出均值，再利用公式可求方差. 【详解】这5个数的和为，其均值为， 故方差为， 故答案为：4. 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，根据共线向量可求的值. 【详解】由题设有，，故， 因为，故，故. 故答案为： 14. 江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为______________；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为______________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】点A到原点距离恒为1，判断点B到原点距离最大时在椭圆左端点，计算即可；由椭圆定义和计算判断即可. 【详解】因为过原点的直线交于点A，交于点， 而点A为半圆上的点，所以点A到原点距离为， 因为半椭圆上的点B在左端点时到原点距离最大为半长轴长， 所以的最大值为：； 因为点N是半圆与轴的交点，所以， 因为，，所以， 因为半椭圆，所以焦点，发现为另一个焦点， 由椭圆定义可知， 因此， 当且仅当，，三点共线时取等号，故的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题，本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，圆经过三点. （1）求直线与圆的方程； （2）求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）直线的方程为，圆 （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直直线系可求直线方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）利用垂径定理可求弦长. 【小问1详解】 由可得，故两条直线的交点坐标为， 设，代入可得， 故直线的方程为， 设圆，由题设有：， 故，故圆. 【小问2详解】 由（1）得圆，故，且半径为， 而到直线的距离为，故所求弦长为. 16. 盘，全称USB闪存驱动器，它是一种使用USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的盘，其中银色盘4个，黑色盘3个，从中任取2个盘. （1）求取出的2个盘都是黑色盘的概率； （2）如果是4个银色盘，个黑色盘，已知取出的2个盘都是银色的概率为，那么是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合结合古典概型的概率公式可求概率； （2）根据组合和古典概型的概率公式可得关于的方程，故可求其值. 【小问1详解】 设为“取出的2个盘都是黑色盘”，则. 【小问2详解】 设为“取出的2个盘都是银色盘”，则， 解得. 17. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线BC与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法来求直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为0，即可证明； （2）利用空间向量法来求平面的法向量，再求线面角的正弦值，然后再求余弦值即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，由于， 所以可以如图以为坐标原点建立空间直角坐标系： 又由于是的中点，是的中点， 则， 所以， 由于所以， 所以， 又因为平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）得：， 设平面的法向量为， 则，令，得， 即，设直线BC与平面所成角为， 则， 所以. 即直线BC与平面所成角的余弦值为. 18. 已知点是双曲线的一个焦点，且过点. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）直线与双曲线相交于A，B两点，若，求的面积； （3）直线与双曲线有唯一公共点，过点与直线垂直的直线分别交轴，轴于点，当运动时，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）的面积为或. （3） 【解析】 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线的渐近线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式求出后可求的面积； （3）联立直线方程和双曲线方程，根据题意得到，求出的坐标后可求的轨迹. 【小问1详解】 由题设有，解得， 故渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得双曲线方程：， 由可得，故， 故，故， 当，直线，故到的距离为， 故； 当，直线，故到的距离为， 故； 故的面积为或. 【小问3详解】 由可得， 因为，且直线l'与双曲线C只有唯一公共点Q, 所以， 所以，故， 又，故， 而过点与直线垂直的直线方程为：， 令，则，令，则， 故，，所以即， 故的轨迹方程为：. 19. 已知椭圆，短轴长为2，离心率为，过点的直线交椭圆于A，B两点，点为椭圆的右顶点（A，B，D三点不共线）（如图1）. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线与的斜率之积为定值； （3）以椭圆的长轴为旋转轴，将椭圆旋转，得到椭圆（如图2所示，椭圆在平面内，椭圆在平面内），椭圆上是否存在定点，使得平面平面恒成立？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在且坐标为. 【解析】 【分析】（1）求出基本量后可得椭圆标准方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简斜率乘积后可得定值； （3）设，则可以表示平面、平面的法向量后得到恒等式，结合（2）的韦达定理化简后可求的坐标. 【小问1详解】 由题设有，故，故椭圆标准方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，即的方程为，可得，，则，，得， 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，点，， 将代入得， 化简得， 所以有，， 又由，，则， ，， 所以， 由此可得直线AD与BD的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设，则， 在空间直角坐标系中，由（2）可得， 故，而，其中， 设平面的法向量为，则由可得： ，取，则， 故， 同理可求平面的法向量为， 若平面平面恒成立， 则对任意的实数恒成立， 由（2）的结论可得，故， 而，故或（舍）， 故存在且坐标为. 【点睛】关键点点睛：空间中位置关系恒成立问题，往往需要求动态几何对象的法向量（或方向向量），根据位置关系得到恒等式，再结合已有的多变量的关系式化简后得到相应的动点的存在性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $