高二数学下学期期末模拟卷02（人教A版）（范围：数列+导数+计数原理+概率+随机变量及其分布+成对数据的统计分析+立体几何+解析几何）

**基本信息** 本卷为高二下学期期末模拟卷，涵盖数列、导数、概率统计等8大模块，通过统计案例分析、概率游戏设计等情境，考查数学思维与数据观念，解答题注重逻辑推理与实际应用，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|相关系数判断、等比数列、随机变量分布|结合散点图考查统计直观，多选辨析二项分布与正态分布| |填空题|3/15|椭圆弦长、导数单调区间、三棱锥外接球|立体几何与解析几何计算结合空间想象| |解答题|5/77|统计独立性检验、数列递推、概率分布列、导数恒成立、椭圆综合|以班级工作调查（统计）、游戏币概率（应用）为情境，导数题论证不等式体现逻辑推理，椭圆题探究定点问题培养创新意识|

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷02 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（    ） A． B． C．0.34 D．0.88 【答案】A 【分析】由散点可得变量和变量负相关，且相关性较强，可得结论. 【详解】由散点图知，变量和变量负相关，且相关性较强，所以样本相关系数． 故选：A． 2．已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公比q,利用等比数列的通项公式，可求出答案. 【详解】由题可知，公比，所以， 故选：A 3．已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 4．已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 5．的展开式中所有有理项的系数和为（    ） A．85 B．29 C． D． 【答案】C 【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果. 【详解】展开式的通项为： ，其中， 当时为有理项，故有理项系数和为 ， 故选：C. 6．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ） A．120 B．160 C．180 D．240 【答案】C 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论C，A同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行， 区域A有5种涂法，B有4种涂法， C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种， C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种， ∴共有180种不同的涂色方案 . 故选：C. 7．定义域为的函数满足，则不等式的解为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，构造函数，对其求导可知，所以函数是的单调递增函数，不等式可化为，由的单调性可知，解不等式即可得到答案． 【详解】构造函数，则，则函数是的单调递增函数， 对不等式的两端同时除以得， 则，解得. 故答案为C. 【点睛】由，构造增函数，是本题的一个难点，需要学生在平常的学习中多积累这样的方法． 8．已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下结论正确的是（    ） A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C．已知随机变量服从二项分布，若，，则 D．设服从正态分布，若，则 【答案】BCD 【分析】根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D. 【详解】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误； 对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确； 对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确. 故选：. 10．甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可推导得到及之间的关系，知A正确,B错误；根据题干得到递推关系可知C正确;再构造等比数列，由此可得，采用作差法可求得D正确. 【详解】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以， 又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确； 对于B：因为第次触球者是甲的概率为， 所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以，故； 故； 故选：ACD 11．已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】通过圆心到准线的距离来判断A；联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式求解判断B；求出P的坐标，进而得出切线长判断C；设出点P的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为， 的圆心到直线的距离为1，大于圆的半径， 因此准线和相离，故A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，即， 联立，得， 设直线与抛物线相交于点， 则，所以过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为，故B正确； 对于C，当三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标， 即，此时切线长，故C正确； 对于D，设，由可得，又，， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．椭圆被直线截得的弦长为________. 【答案】 【详解】由 消去y并化简得 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则 所以弦长. 故填. 13．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据函数有三个单调区间，分析导函数恰有两个零点，根据导函数方程的根的情况即可求出参数范围. 【详解】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 14．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心，连接并延长交于点，由条件可得为中点，且，，，，是二面角的平面角，由余弦定理得，由题知，在以为直径的圆上，由正弦定理得，在中求出，即，然后利用球的表面积公式求出答案. 【详解】如图所示，设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心， 则平面，平面. 因为是边长为6的正三角形， 所以的外心为的重心， 连接并延长交于点， 则为中点，且，， 因为为直角三角形，， 所以为中点，且，，， 因为，， 所以是二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 由题知， 所以，在以为直径的圆上， 由正弦定理得. 在中，， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 25 学习积极性一般 19 合计 24 50 参考数据： 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)求，，，的值； (2)如果通过分层抽样的方式从积极参加班级工作的学生中抽取4人，再从这4人中任选3人代表班级参加活动，记这3人中学习积极性高的人数为随机变量，求的分布列和期望； (3)试根据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由. （参考公式：） 【答案】(1)，，，. (2)分布列见解析，数学期望为 (3)有，理由见解析 【分析】（1）根据二阶列联表的规律可求相关参数的值； （2）由分层抽样可得其中学习积极性高的学生3人，学习积极性一般的学生1人，随机抽取3人，则可取2,3，利用组合数计算概率并写出分布列，计算期望即可； （3）根据计算公式，计算出值与对照比较，下结论即可. 【详解】（1）因为；，，. 所以，，，. （2）通过分层抽样的方式从积极参加班级工作的学生中抽取4人，其中学习积极性高的学生3人，学习积极性一般的学生1人. ，， ， ， 的分布列为 2 3 0.75 0.25 . （3）由统计量的计算公式得， 由于， 根据小概率值的独立性检验分析“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”. 16．已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 17．现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)不公平，理由见解析 【分析】（1）利用二项分布求概率分布列及其期望即可； （2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来计算即可得分布列； （3）利用递推思想,构造等差数列来求出，从而得到判断. 【详解】（1）依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是. ， ， 当时，，当时，， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，，2，可取0，1，2. 由事件相互独立， 则， ， ， 故的分布列为11分 Y 0 1 2 （3）记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，， 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故， 故当时， ， 即，即，. 记，则，， 故数列是首项为，公差为1的等差数列， 故，则， 故，，则，因此不公平. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)函数，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论导数正负，即可求得答案； （2）求出函数导数，分类讨论，判断函数单调性，结合题意，即可求得答案； （3）结合（2）的结论，令，得，累加即可证明结论. 【详解】（1）， 当即时，在单调递增； 当即时，当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上：当时，在单调递增； 当时，在单调递减；在上单调递增； （2），且， ， 当时，在上单调递减， ，符合题目要求； 当时，令， 则时在上单调递增， 即当时，不符合要求， 综上：； （3）由（2）知，当时，， 令， 得， 累加得，证毕. 19．已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷02 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C D C C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为；，，. 所以，，，.（3分） （2）通过分层抽样的方式从积极参加班级工作的学生中抽取4人，其中学习积极性高的学生3人，学习积极性一般的学生1人. ，， ， ， 的分布列为 2 3 0.75 0.25 .（8分） （3）由统计量的计算公式得， 由于， 根据小概率值的独立性检验分析“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列.（1分） 理由如下： 因为，，故， 又，故，（3分） 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列.（6分） （2）当时，由（1）可知，所以， 所以，（9分） 当为偶数时，；（12分） 当为奇数时，.（14分） 综上所述，（15分） 17．（15分） 【详解】（1）依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是.（2分） ， ，（4分） 当时，，当时，， 当时，最大.（5分） （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，，2，可取0，1，2. 由事件相互独立， 则，（6分） ，（8分） ，（9分） 故的分布列为11分 Y 0 1 2 （10分） （3）记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，， 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故， 故当时， ， 即，即，.（12分） 记，则，， 故数列是首项为，公差为1的等差数列， 故，则， 故，，则，因此不公平.（15分） 18．（17分） 【详解】（1），（1分） 当即时，在单调递增； 当即时，当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上：当时，在单调递增； 当时，在单调递减；在上单调递增；（5分） （2），且， ，（6分） 当时，在上单调递减， ，符合题目要求； 当时，令， 则时在上单调递增， 即当时，不符合要求， 综上：；（10分） （3）由（2）知，当时，， 令， 得， 累加得，证毕.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为；（4分） （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：，（5分） 所以，， 则，（6分） 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为，（8分） 所以，当时取等号. 即面积的最大值为；（10分） （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得，（12分） 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得，（15分） 则，化简得：， 所以直线MN过定点.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版（数列+导数+计数原理+概率+随机变量及其分布+成对数据的统计分析+立体几何+解析几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（    ） A． B． C．0.34 D．0.88 2．已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 5．的展开式中所有有理项的系数和为（    ） A．85 B．29 C． D． 6．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ） A．120 B．160 C．180 D．240 7．定义域为的函数满足，则不等式的解为 A． B． C． D． 8．已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下结论正确的是（    ） A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C．已知随机变量服从二项分布，若，，则 D．设服从正态分布，若，则 10．甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．椭圆被直线截得的弦长为________. 13．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为________. 14．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 25 学习积极性一般 19 合计 24 50 参考数据： 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)求，，，的值； (2)如果通过分层抽样的方式从积极参加班级工作的学生中抽取4人，再从这4人中任选3人代表班级参加活动，记这3人中学习积极性高的人数为随机变量，求的分布列和期望； (3)试根据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由. （参考公式：） 16．（15分）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 17．（15分）现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)函数，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版（数列+导数+计数原理+概率+随机变量及其分布+成对数据的统计分析+立体几何+解析几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（    ） A． B． C．0.34 D．0.88 2．已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 5．的展开式中所有有理项的系数和为（    ） A．85 B．29 C． D． 6．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ） A．120 B．160 C．180 D．240 7．定义域为的函数满足，则不等式的解为 A． B． C． D． 8．已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下结论正确的是（    ） A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点； B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 C．已知随机变量服从二项分布，若，，则 D．设服从正态分布，若，则 10．甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．椭圆被直线截得的弦长为________. 13．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为________. 14．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 25 学习积极性一般 19 合计 24 50 参考数据： 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)求，，，的值； (2)如果通过分层抽样的方式从积极参加班级工作的学生中抽取4人，再从这4人中任选3人代表班级参加活动，记这3人中学习积极性高的人数为随机变量，求的分布列和期望； (3)试根据小概率值的独立性检验，分析学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由. （参考公式：） 16．（15分）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 17．（15分）现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)函数，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $