3.1.1 函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1函数的概念 知识点一 函数的概念 1.传统定义(变量说) 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称x是自变量,y是x的函数. 2.现代定义(对应关系说) 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A. 其中、x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 知识剖析: (1)集合A,B是两个非空集合,定义域或值域为空集的函数是不存在的,倒如,就不是函数. (2)两个非空数集间的对应关系能否构成函数,主要看是否满足“三性”: ①任意性:非空数集A中的任意一个数x都有函数值; ②单值性:每一个自变量在非空数集B中都有唯一确定的数y与之对应: ③方向性为从集合A到集合B的一个函数. 这“三性”中只要有一个不满足就不能构成函数. (3)集合A一定是函数的定义城,因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应;集合B却不一定是函数的值域,因为B中的元素可以没有与之对应的元素,即. 示例[多选题]下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的是(　　) A.A＝{1,2,3},B＝{7,8,9},f(1)＝f(2)＝7,f(3)＝8 B.A＝Z,B＝{-1,1},n为奇数时,f(n)＝-1,n为偶数时,f(n)＝1 C.A＝B＝{1,2,3},f(x)＝2x-1 D.A＝B＝{x|x≥-1},f(x)＝2x+1 解: 对于集合A中的任意一个值,在集合B中都有唯一的值与之对应,因此AB中的对应关系f是从集合A到集合B的一个函数. C.对于集合A中的3,在集合B中没有与之对应的值,因此对应关系f不是从集合A到集合B的一个函数. D.对于集合A中任意一个值x,与之对应的集合B中的值是唯一确定的,又当x≥-1时,2x+1≥-1,所以对应关系f是从集合A到集合B的一个函数,可以表示为f(x)＝2x+1,x≥-1. ABD 知识点二 函数的三要素 1.定义域 函数的定义域是自变量的取值范围. (1)在函数关系的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合. (2)在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约,如圆的面积S与圆的半径r之间的函数关系为S＝πr2,其定义域为 {r|r＞0}. 2.对应关系 对应关系是函数的灵魂. 它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”,从定义域A中任取一个x,可得到值域{f(x)| x ∈ A}中唯一的y与之对应.同一“f”可以“操作”不同形式的变量.如f(x)是对x实施“操作”,而f(x2)是对x2实施“操作”,f(2)是对2实施“操作”. 如何理解对应关系f的含义？ 对应关系f是函数的本质特征,就像计算机中的某个“程序”,当f(　　)的括号内输入一个值时,在此“程序”的作用下便可输出某个数据,即函数值, 如f(x)＝3x+5,“f”表示“自变量的3倍加5“, 如f(4)＝3×4+5＝17.我们也可以将“f” 比喻为一个“数值加工器”(如图3-1-1). 当投入x的一个值后,经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.需要注意的是这里的“x”既可以是一个数,也可以是一个代数式,还可以是某个函数符号.如f(x)＝3x+5,则f(2x-1)＝3(2x-1)+5,f(wx)＝3(wx)+5等. 进一步理解为在y＝f(x)中,x是自变量,f代表对应关系,不能因为函数的定义而认为自变量只能用x表示,其实用什么字母表示自变量都可以,关键是要符合定义,x只是一个较为常用的符号,也可以用t,m等表示自变量. 3.值域 函数值域就是函数值的集合. 对于定义域是A的函数y＝f(x),其值域就是指函数值的集合{f(x)|x∈ A}. 知识剖析 值域是由定义域和对应关系决定的,所以确定一个函数只需要两个要素: 定义域和对应关系.判断两个变量之间是否具有函数关系,只要检验: (1)定义城和对应关系是否给出; (2)根据给出的对应关系,自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应. 示例(1)下列说法正确的是(　　) A.函数的值域中每一个值在定义域中一定只有一个值与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.函数的定义域和值域一定是数集 D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了 (2)下表表示y是x的函数,则函数y的值域是(　　)   x y A. B. C. D. 解:(1)对于函数值域中的某一个值,在定义域中可以有多个值与之对应,所以A不正确. 由函数的定义可知、函数的定义域和值域为非空的实数集,所以B不正确. 由函数定义可知 C 正确、 对于D,如当函数(x)＝x的定义域为[0,1]时,值域也是[0,1],而函数g(x) ＝x2的定义域为[0,1]时,值域也是[0,1],f(x)与g(x)的定义域相同,值域也相同,但对应关系不同,所以D不正确. (2)函数值只有-1,0、1三个数值,故值域为{-1,0,1}. C D 知识点三 函数相等 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数是同一个函数.   知识剖析: 当一个函数的对应关系和定义域确定后,其值域就随之确定,所以两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时,才为同一函数.也就是说: (1)定义域不同,两个函数不同; (2)值域不同,两个函数不同; (3)对应关系不同,两个函数不同,即使定义域和值域分别相同的两个函数,也不一定是同一函数.如y＝5x与,它们的定义域和值域都是R,但却不是同一函数. 示例在下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x-1,g(x) B.f(x)＝|x+1|,g(x)＝ C.f(x)＝x+1(x∈R),g(x)＝x+1(x∈Z) D.f(x)＝x,g(x) 解:A中函数(x)＝x-1的定义域为R,g(x)的定义域为()(-1,),定义域不同,故不是同一个函数; B中函数(x)＝与g(x)＝,其有相同的定义域、值域、对应关系, 故是同一个函数; C中函数(x)＝x+1(x∈R)与g(x)＝x+1(x∈Z)的定义域不同,故不是同一个函数; D中函数f(x)＝x的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+),定义域不同, 故不是同一个函数. B 知识点四 区间 区间的概念及几何表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间   开区间   半开半闭区间   半开半闭区间   含“”的区间表示 定义 符号 数轴表示         示例用区间表示下列数集: (1){x|x≥1}＝_______________; (2){x|2＜x≤3＝_____________; (3){x|x＞-1且x≠2}＝_______________;(4)R＝____________; (5){x|x≤-1}{x|-5≤x＜2}＝________________. 注意: (1)对于只有一个数的集合,仍然用集合来表示,如,在数轴上用一个实心点表示. (2)对于一个不等式的解集,我们既可以用集合形式来表示,也可以用区间形式来表示. [1,+) (2,3] (-1,2)(2,) 知识点五 抽象函数与复合函数 1.抽象函数与复合函数的概念 (1)抽象函数:没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. (2)复合函数:若函数y＝f(t)的定义域为A,函数t＝g(x)的定义域为D,值域为C,则当CA时,称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t＝g(x)叫做内层函数,y＝f(t)叫做外层函数. 2.抽象函数或复合函数的定义域 理解抽象函数或复合函数的定义域要明确以下几点: (1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合; (2)函数f((x))的定义域是指x的取值范围,而不是(x) 的取值范围: (3)f(t)\f((x)),f(h(x))三个函数中的t,(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同; (4)已知f(x)的定义域为A,求f((x))的定义域,其实质是已知 (x)的取值范围为A,求x的取值范围; (5)已知f((x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f((x))中x的取值范围为B,求(x)的取值范围. 随堂练习1 1.求下列函数的定义域. (1) (2) (3) (4)   (1)由,所以定义域为 (2)由, 得x＝1,所以其定义域为{x|x＝1}. (3)由,得所以其定义域为{x|x≤1且x≠0}. (4)由得所以其定义域为{x|≤x≤或≤x≤}. 注意:定义域必须用集合和区间表示,若用区间表示,则不能用“或”连接，应用并集符号“”连接. 随堂练习2 2.如图3-1-2所示,从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体盒子的高x与底面正方形边长的比值不超过正数t,试把长方体盒子的容积V表示为关于x的函数,并求出其定义域. 解:由长方体盒子的高为x,可得底面正方形的边长为(2a-2x), 所以V＝ 因为所以   因为 所以, 所以长方体盒子的容积V＝4x(a-x)2,定义域为{x|0＜x≤} 随堂练习3 3.(1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为____________. (2)若f(x),则函数f(3x-2)的定义域为_____________. (3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为_____________. (4)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x-1)的定义域为_____________. (1)由-1＜2x+1＜2,得,所以的定义域为(). (2)由-x2+2x+3≥0,得-1≤x≤3,即f(x)的定义域为[-1, 3]由-1≤3x-2≤3,得≤x≤, 即f(3x-2)的定义域为]. (3)因为-1＜x＜2,所以-1＜2x+1＜5,所以f(x)的定义域为(-1,5). (4)由f(2x+1)的定义域为(-1,2),得-1＜x＜2,所以-1＜2x+1＜5,即f(x)的定义域为(-1,5). 由-1＜x-1＜5,得0＜x＜6,所以f(x-1)的定义域为(0,6). (). ]. (-1,5). (0,6). 随堂练习4 4.已知函数的定义域为[-3,6],则a的值为______,b的值为_____. 解:由题意得不等式ax2+bx+18≥0的解集为[-3,6], 因此x＝-3和x＝6是方程ax2+bx+18＝0的两个根,且a＜0, 于是解得所以a,b的值分别为-1,3. -1 3 随堂练习5 5.已知函数的定义域为R,则实数a的取值范围是 __________________________________. 解:依题意,要使函数有意义,必须使ax2+4ax+3≠0. 因为函数的定义域为R,所以方程ax2+4ax+3＝0无解(无实根). 当a＝0时,方程ax2+4ax+3＝0无解,符合题意; 当a≠0时,若方程ax2+4ax+3＝0无解,则判别式＜0,即(4a)2-12a＜0,解得 综上可得,当0≤时,函数的定义域为R. 当0≤时,函数的定义域为R. 随堂练习6 6.已知f(x)(x∈R,x≠2),g(x)＝x+4(x∈R). (1)求f(1),g(1)的值; (2)求f(g(1))、f(g(x))的值; (3)若g(f(x))＝1,求x. 解:(1) f (1)(1)＝1+4＝5. (2) f(g(1))＝f (5)f(g(x))＝f(x+4). (3) g(f(x)＝g (,即,解得 5 随堂练习7 7.已知函数f(x)对任意正实数a,b,都有f(ab)＝f(a)+f(b)成立. (1)求f(1)的值; (2)若f(2)＝p,f(3)＝q(p,q为常数),求f(36)的值.(用p,q表示) 解:(1)令a＝1,b＝1,得f(1)＝f(1)+f(1),解得f(1)＝0. (2)(方法1)令a＝b＝2,得f(4)＝f(2)+f(2)＝2p. 令a＝b＝3,得f(9)＝f(3)+f(3)＝2q. 令a＝4,b＝9,得f(36)＝f(4)+f(9)＝2p+2q. (方法2)因为36＝22×32, 所以f(36)＝f(22×32)＝f(22)+f(32)＝f(2×2)+f(3×3) ＝f(2)+f(2)+f(3)+f(3)＝2f(2)+2f(3)＝2p+2q. 随堂练习8 8.求下列函数的值域. (1)+3; (2)y＝x2+2x-3; (3); (4); (5) 解(1)因为≥0,所以≥3,所以函数的值域为[3,+). (2)因为y＝x2+2x-3＝(x+1)2-4≥-4,所以函数的值域为[-4,+). (3) 因为的值域为(-,0)(0,+),所以的值域为(-,4)(4,+ ) 随堂练习8 (4)(方法1:分离常数法) 因为, 又因为x2≥0,所以1+x2≥1,所以(0,2],所以y∈(-1,1].故函数的值域为(-1,1]. (方法2:判别式法) 因为,x∈R,所以y+yx2＝1-x2, 整理、得(y+1)x2+y-1＝0.当y+1≠0时,＝-4(y+1)(y-1) ≥0,解得-1＜y≤1.当y+1＝0时,-2＝0不成立,所以y≠-1.故函数的值域为(-1,1]. (方法3:反表示法) 由,得x2,而x2≥0, 所以≥0,所以-1＜y≤1,故函数的值域为(-1,1]. (5)令,则t≥0且x＝t2-2,所以y＝t2因为t≥0, 所以y≥-2.所以函数的值域为[-2,+).   随堂练习9 9.若函数f(x)的值域为[0,+),求实数m的取值范围. 解:①当m＝0时,f(x),满足题意; ②当m≠0时,令g(x)＝mx2+2x+1,则mx2+2x+1≥0, 所以 综上所述,m的取值范围为[0,1]. [0,1]. 随堂练习10 10.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为y＝x2,值域为{1,4}的函数的“同族函数”共有(　　) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 解:当x＝±1时,y＝1,当x＝±2时,y＝4,则定义域可以为 {1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{-1, 2,-2},{1,-2,2},{1,-1,2,-2}, 因此,该函数的“同族函数”共有9个 C 随堂练习11 11.函数的值域为________________. 解:令,则2x＝t2+3,且t≥0, 所以y＝2(t2+3)-5+t＝2. 所以当t＝0时,＝1.故所求函数的值域是[1,+). [1,+ ] 随堂练习12 12.已知f(x+2)的定义域为[1,2],则f(2x+1)的定义域为____________. 解:因为 f(x+2)的定义域为[1,2],即1≤x≤2, 所以3≤x+2≤4,即f(x)的定义域为[3,4],所以3≤2x+1≤4,解得1≤x≤, 则(2x+1)的定义域为[1,] [1,] 随堂练习13 13.函数的定义域是____________. 解: 要使函数有意义,需7+6x-x2≥0, 即x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,解得-1≤x≤7. 故所求函数的定义域为[-1,7]. [-1,7] 14.设函数a ∈ R,函数f(x)＝|x-1|+|x2-a|.若f(2)＝1,则f(1)＝___________. 解:由f(2)＝1+|22-a|＝1,可得a＝4, 所以f(1)＝|1-1|+|1-4|＝3. 随堂练习14 3 随堂练习15 15.设函数f(x)＝x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)＝(x-b)(x-a)2,x∈R, 则实数a＝_______,b＝_______. 解:因为f(x)-f(a)＝x3+3x2-a3-3a2, (x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)＝x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b, 所以,解得或(舍去) $$