3.1.1　第2课时　函数的概念(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第2课时　函数的概念(二) 第2课时　函数的概念(二) 学 习 目 标 1 2 掌握区间的概念，会用区间表示解集；掌握函数定义域的求法，特别是掌握三种情形下抽象函数定义域的求解方法： 题型1.已知f(x)定义域为(a,b)，求f(g(x))定义域； 题型2.已知f(g(x))定义域为(a,b)，求f(x)定义域； 题型3.复合叠加抽象函数定义域求解。理解同一函数的定义，会判断两个函数是不是同一函数 培养数学抽象与建模能力,提升数学运算核心素养。 第2课时　函数的概念(二) 新课引入 复习回顾 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。 函数的三要素 定义域、对应法则、值域 辨析 “f(x)”可以表示函数值，也可以表示函数。 第2课时　函数的概念(二) 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ________ {x|a<x<b} 开区间 ________ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ________ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ________ 设a，b∈R，且a<b，规定如下： [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 研究函数时常会用到区间的概念 第2课时　函数的概念(二) 定义 名称 区间 数轴表示 {x|x≥a}   [a，+∞) {x|x>a}   (a，+∞) {x|x≤b}   (-∞，b] {x|x<b}   (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 第2课时　函数的概念(二) [典例讲评]　1．把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}；(4) {x|－2<x≤2且x≠0}． (5)集合{x|0<x<1，或2≤x≤4}用区间表示为________________． [解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)． (4){x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]． 探究1　区间的概念 (0，1)∪[2，4]　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 注意： 3. 定义域、值域、不等式解集等经常用区间表示； 2. 区间只能表示连续的数集； 4. 实心点表示包括区间内的端点，空心点表示不包括端点； 1. 区间(a,b),必须有b>a； 5. 以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 第2课时　函数的概念(二) 2.已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________． 解：由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0， 解得－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．] 变式.已知区间[a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 发现规律　用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值____右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用__括号，不含端点值的一端用__括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用__括号． 小于 中 小 小 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 探究2　求函数的定义域与函数值 [典例讲评]　【链接教材P65例2】 2．已知函数 f (x)＝－． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求 f (－1)，f (12)的值； (3)当a>3时，求 f (a)，f (a－1)的值． 对应法则f，括号里的内容就是x 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) [解]　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， 所以x≥－4且x≠1， 即函数f (x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)． (2) f (－1)＝－＝－3－． f (12)＝－＝－4＝－． (3)因为a>3，所以f (a)，f (a－1)有意义， f (a)＝－； f (a－1)＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) [学以致用]　【链接教材P67练习T1、T2】 2．已知函数f (x)＝． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f ( f (0))的值． [解]　(1)由题意可得⇒x>－1且x≠2， 所以函数f (x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)． (2) f ( f (0))＝f (3)＝＝1－＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 反思领悟　1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 探究3　同一个函数 问题1　构成函数的要素有哪些？ 提示：定义域、对应关系和值域． 问题2　函数y＝x与y＝|x|是同一个函数吗？ 提示：不是同一个函数，对应关系与值域分别不同． 问题3　如何判断两个函数是否为同一函数？步骤是什么？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 如果两个函数的定义域____，并且对应关系________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 相同 完全一致 步骤： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 函数对比示例 函数 定义域 对应关系 值域 是否同一函数 基准 不是 不是 是 不是 第2课时　函数的概念(二) [典例讲评]　【链接教材P66例3】 3．下列各组函数： ①f (x)＝，g(x)＝x－1； ②f (x)＝，g(x)＝； ③f (x)＝·，g(x)＝； ④f (x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________．(填序号) ③⑤　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) ③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同， f (x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R． ②不是同一个函数，对应关系不同， f (x)＝，g(x)＝． ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，对应关系，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R． ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 反思领悟　判断两个函数是否为同一个函数的步骤 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) [学以致用]　【链接教材P67练习T3】 3．(多选)下列各组函数中，是同一个函数的有(　　) A．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋2 B．f (x)＝|x|，g(x)＝ C．f (x)＝x2，g(x)＝ D．f (x)＝x2，g(t)＝t2 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) BD　[对于A，两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于B，两函数的定义域相同都为R，其次＝|x|，所以是同一个函数；对于C，函数f (x)＝x2的定义域为R，而函数g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，所以不是同一个函数；对于D，两函数的定义域相同，都为R，且对应关系相同，所以是同一个函数．故选BD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 抽象函数定义域核心规则 ①同一对应关系f下，括号内整体取值范围完全相同； ②函数定义域永远只指自变量x的取值范围。 举例：已知定义域[0,4]，则 中∈[0,4]，解得∈[-1,3]； 中∈[0,4]，解得∈[2,6]； 不同函数里相同字母取值范围不一定相等。 第2课时　函数的概念(二) 第2课时　函数的概念(二) [典例讲评]　4．(1)函数y＝f (x)的定义域是[－1，3]，则y＝ f (2x＋1)的定义域为________． (2)若函数y＝f (3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f (x)的定义域是(　　) A．[－1，1]　　　　　　　 B．[－5，13] C．[－5，1] 　 D．[－1，13] √ [－1，1] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) (1)[－1，1]　(2)B　[(1)令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1， 所以y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，1]． (2)由题意知，－2≤x≤4， 所以－5≤3x＋1≤13， 所以y＝f (x)的定义域是[－5，13]．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 4．已知函数 f (x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域是______________________． ∪(－1，1]　[依题意 ∴－≤x≤1且x≠－1， 故函数y＝的定义域是∪(－1，1]．] ∪(－1，1] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 26 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [点评]　抽象函数的定义域 (1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域，则g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 27 应用迁移 随堂评估自测 1．若f (x)＝，则f (3)＝(　　) A．2 　 B．4 C．2 　 D．10 √ A　[因为f (x)＝，所以f (3)＝＝2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) √ 2．下列叙述正确的是(　　) A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，＋∞) B．{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2) C．(－∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) D　[对于A，{x|x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，错误；对于B，{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，错误；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，正确．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) √ 3．(教材P72习题3.1T2改编)下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故ACD错误．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 4．函数f (x)＝的定义域是__________________．(用区间表示) [－2，2)∪(2，＋∞)　[x应满足 即x≥－2，且x≠2．所以函数 f (x)＝的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞)．] [－2，2)∪(2，＋∞)　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ________ {x|a<x<b} 开区间 ________ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ________ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ________ 设a，b∈R，且a<b，规定如下： [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 研究函数时常会用到区间的概念 第2课时　函数的概念(二) 定义 名称 区间 数轴表示 {x|x≥a}   [a，+∞) {x|x>a}   (a，+∞) {x|x≤b}   (-∞，b] {x|x<b}   (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 第2课时　函数的概念(二) 同一函数 如果两个函数的定义域____，并且对应关系________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 相同 完全一致 步骤： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) 谢 谢！ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　函数的概念(二) $