专题02 平行线及其判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题02 平行线及其判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行公理的应用 题型三 平行公理推论的应用 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 垂直于同一直线的两直线平行 题型八 平行线判定定理的结合 题型九 平行线的判定（填空型证明题） 题型十 平行线的判定（解答题） 知识点1：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点2：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 1．（24-25七年级上·四川甘孜·期末）若整数a使关于x的方程有负整数解，且a是三条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有a的和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 2．（24-25七年级下·贵州黔西·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填写序号） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 【经典例题二 平行公理的应用】 【例2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列语句中，①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线平行；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是 ②的位置关系是 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 【经典例题三 平行公理推论的应用】 【例3】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）下列命题中，是真命题的是(    ) A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的个数为(    ) ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③如果两条线段不相交，那么它们就平行； ④如果两条直线不相交，那么它们就平行. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）画图题： (1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH. (2)判断EF、GH的位置关系是______． (3)连接AC和BC，则三角形ABC的面积是______． 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津滨海新·期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法： ① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1： 李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2． （1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）. （2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·北京平谷·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 （填序号）．    3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图：平分，平分，且，求证： 【经典例题七 垂直于同一直线的两直线平行】 【例7】1（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 1．（24-25七年级下·浙江台州·阶段练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【经典例题八 平行线判定定理的结合】 【例8】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 1．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）下列选项中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南楚雄·期中）如图，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津东丽·期末）能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【经典例题九 平行线的判定（填空型证明题）】 【例9】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）证明填空题 如图，∵，（已知）， ∴， （垂直定义）， ∴ （                 ）， ∵（已知）， ∴ ， ∴ （               ）．      3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 【经典例题十 平行线的判定（解答题）】 【例10】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，点在边上． (1)作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)直线与直线平行吗？ 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 4．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在下列结论中：；；；．其中能判定的有 ．（请填写序号） 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是 ． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线及其判定重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行公理的应用 题型三 平行公理推论的应用 题型四 同位角相等两直线平行 题型五 内错角相等两直线平行 题型六 同旁内角互补两直线平行 题型七 垂直于同一直线的两直线平行 题型八 平行线判定定理的结合 题型九 平行线的判定（填空型证明题） 题型十 平行线的判定（解答题） 知识点1：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点2：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 1．（24-25七年级上·四川甘孜·期末）若整数a使关于x的方程有负整数解，且a是三条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有a的和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑三条直线都平行，再考虑两条、直至都不平行，作出草图即可看出三条直线在平面内交点的个数；再解方程求出关于a与x的值，根据“方程有负整数解”得出a的值，看是否符合题意，得出满足条件的所有的个数即可． 【详解】解：四条直线在平面内交点的个数有以下几种情况： （1）当三条直线平行时，无交点， （2）当两条平行，有2个交点， （3）三条直线没有平行线时， 有1个交点或3个交点， 故三条直线在平面内交点的个数为：0或1或2或3； 解方程得：， ∵方程组有负整数解，为整数， ∴或或或， 解得：或2或1或0， ∵也是四条直线在平面内交点的个数， ∴满足条件的的值有：0，1，2共三个，和为3， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上三条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从三条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．也考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解． 2．（24-25七年级下·贵州黔西·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填写序号） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 【答案】②③ 【分析】根据平行线、相交线、垂线的性质，对各个选项进行分析，即可得到答案． 【详解】当两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相交线、垂线的性质，从而完成求解． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）（1）如图①，在的网格图中，标注了六个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来． （2）如图②，在的网格图中，标注了一些线段，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请分别表示出来． （3）在如图③所示的正方形网格中，小格的顶点叫作格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同． 【答案】（1）和，和，和 （2）互相平行的线段：，，， 互相垂直的线段：，， （3）见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的格点画法需满足的条件； （1）判断不同角度所在的长方形，长方形一致的再去判断互余； （2）判断不同线段为对角线的长方形，长方形一致的再去判断是否平行和垂直； （3）根据互余角度特征去作直角三角形即可． 【详解】解：（1）和互余，和互余，和互余； （2）互相平行的线段：，，，； 互相垂直的线段：，，； （3）如图所示： 【经典例题二 平行公理的应用】 【例2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）.以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的性质，垂线的性质，对顶角的性质，平行线的定义，垂线段的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是一道基础题．根据相关知识判断即可． 【详解】解：（1）同角或等角的余角相等；选项正确； （2）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；选项错误； （3）对顶角相等；正确； （4）在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线；选项错误； （5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；选项正确； （6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．选项错误； 故选：C． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列语句中，①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线平行；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，故该说法错误； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该说法错误； ③平行于同一直线的两直线平行，正确； ④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法错误． 故正确的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，熟练掌握和理解对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定是解题的关键． 2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是 ②的位置关系是 【答案】 平行 垂直 【分析】根据平行公理及垂直的定义解答，进而得到规律：与其他直线的位置关系为每4个一循环，垂直、垂直、平行、平行，根据此规律即可判断． 【详解】 如图，，，， ，，，， 依次类推：，，，， ，，， ，故． 故答案为平行；垂直． 【点睛】本题考查了平行公理的推导，作出图形更也有利于规律的发现以及规律的推导，解题的关键是结合图形先判断几组直线的关系，然后找出规律． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 【答案】直线a，b，c，d都互相平行，理由见解析 【分析】根据平行公理证明即可． 【详解】解：直线a，b，c，d都互相平行，理由如下： ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行于同一直线的两条直线平行是解题的关键． 【经典例题三 平行公理推论的应用】 【例3】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）下列命题中，是真命题的是(    ) A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据平行线的判定对B、C、D进行判断． 【详解】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以A选项错误； B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项错误； C、a∥b，b∥c，则a∥c，所以C选项正确； D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推论和平行线的判定及性质． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的个数为(    ) ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③如果两条线段不相交，那么它们就平行； ④如果两条直线不相交，那么它们就平行. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的定义、公理及推论判断． 【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； ③线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误； ④应该是“在同一平面内”，故错误. 故选A 【点睛】此题考查掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法． 2．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”进行分析． 【详解】由题意可知，L1∥L2∥L，且直线L1与直线L2都经过点B，所以根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”可得A、B、C三点共线． 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题考查平行公理，熟记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）画图题： (1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH. (2)判断EF、GH的位置关系是______． (3)连接AC和BC，则三角形ABC的面积是______． 【答案】（1）画图见解析；（2）EF⊥GH；（3）10． 【分析】（1）过点C作4×2的长方形的对角线所在的直线，可得AB的垂线EF和平行线GH； （2）根据平行线公理的推论易得EF与GH的位置关系是：垂直； （3）根据割补法即可解答． 【详解】解：（1）如图，直线EF，直线GH即为所求作． （2）结论：EF⊥GH． 理由：∵EF⊥AB，GH∥AB， ∴EF⊥GH． 故答案为：EF⊥GH． （3）S△ABC＝． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行线、垂线，关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线、垂线的方法，还要熟练掌握三角形的面积公式． 【经典例题四 同位角相等两直线平行】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中，可以用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补，两直线平行， 根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B、， （同位角相等，两直线平行），故符合题意； C、， （内错角相等，两直线平行），故不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键． 2．（24-25七年级下·天津滨海新·期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法： ① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1： 李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2． （1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）. （2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ． 【答案】 能 图见解析，同位角相等，两直线平行 【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断； （2）根据题目中所列的方法即可画出图形 【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a； （2）如图所示， 证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行 故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由已知结合等式的性质，可得，根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：， 理由如下： （已知）， ， 即， （同位角相等，两直线平行）． 【经典例题五 内错角相等两直线平行】 【例5】（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，依次根据四个选项中的度数进行判断即可． 【详解】解：当时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， 当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，如下图所示， 三角形没有边与平行； 当时，延长交于点F，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 1．（24-25七年级下·北京平谷·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故A符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故B不符合题意； C、，不能判定，故C不符合题意； D、，不能判定，故D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据题意，画出图形即可判断，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下：    由图可得，选项两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，理由是：根据同旁内角互补，两直线平行， 故选：． 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是 （填序号）．    【答案】①②． 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案． 【详解】∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD；故①符合题意， ∵∠BAD+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD；故②符合题意， ∠ABC＝∠ADC，不能判定AB∥CD，故③不符合题意， ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC；不能判定AB∥CD，故④不符合题意， 故答案为：①② 【点睛】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图：平分，平分，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD． 【详解】证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2． ∵∠1+∠2=90°， ∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°． ∴AB∥CD． 【点睛】灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角． 【经典例题七 垂直于同一直线的两直线平行】 【例7】1（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查规律的探索，能找出其中的规律的解题的关键．根据，，，，．．．寻找规律解答． 【详解】解：，， 按此规律， 又 以此类推： ∴ ∵ ∴ ∵ 故选A． 1．（24-25七年级下·浙江台州·阶段练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：①∵∠1＝∠3， ∴ab， ∵∠4＝∠5， ∴bc， ∴ac，符合题意； ②∵2+3=， ∴ab， ∵3=4，3=7， ∴4=7， ∴bc， ∴ac，符合题意； ③∵1=2，1＋2＝180°， ∴1=2=90°， ∴a⊥l， ∵5=6，5＋6＝180°， ∴5=6=90°， ∴c⊥l， ∴ac，符合题意； ④由4=5可得bc，但是由2=3，无法推出ab， 故无法得出ac，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵…1， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成的锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 【经典例题八 平行线判定定理的结合】 【例8】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A∵，∴，故选项A能判定，不符合题意； B.∵平分，∴又，∴，∴，故选项B能判定，不符合题意； C.∵平分，平分，∴∵，∴∴∴，∴，故选项C能判定，不符合题意； D.由无法判断出，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键． 1．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）下列选项中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行． 【详解】解：A．和是同位角，同位角相等两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； B．由对顶角相等可得 ，而，可得，和是同位角，同位角相等两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； C．和是邻补角，不是同位角、内错角和同旁内角，不能判定，故本选项符合题意； D．由对顶角相等可得 ，和是邻补角得，而，可得，和是同位角，同位角相等两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线判定的条件是解决这道题的关键． 2．（24-25七年级下·云南楚雄·期中）如图，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、对顶角相等逐项判断即可得． 【详解】解：A、， ，则此项不符合题意； B、， ，则此项不符合题意； C、由不能判定，则此项不符合题意； D、，， ， ，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 3．（24-25七年级下·天津东丽·期末）能判定直线的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A．由，，不能判定直线，故A选项不符合题意； B．由，，不能判定直线，故B选项不符合题意； C．由，，不能判定直线，故C选项不符合题意； D．由，，可得，能判定直线，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【经典例题九 平行线的判定（填空型证明题）】 【例9】（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，，垂足为D，点E、F分别在线段上，． (1)求证：；（补充） 证明：∵，                     ∴，（ ）    ∵， ∴，（ ） ∴； （ ） (2)若，求的度数． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． （1）根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，                     ∴，（直角三角形两锐角互余）    ∵， ∴，（等量代换） ∴； （内错角相等，两直线平行） 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， ． （对顶角相等）． 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）证明填空题 如图，∵，（已知）， ∴， （垂直定义）， ∴ （                 ）， ∵（已知）， ∴ ， ∴ （               ）．      【答案】；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：如图，∵，（已知）， ∴，（垂直定义）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 【答案】平角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同角的补角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，进行作答即可．掌握平行线的判定定理，是解题的关键． 【详解】证明：∶∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵平分， ∴， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 【经典例题十 平行线的判定（解答题）】 【例10】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，点在边上． (1)作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)直线与直线平行吗？ 【答案】(1)见解析 (2)直线与直线平行，理由见解析 【分析】本题考查了复杂作图，平行线的判定，解题的关键是掌握角的作图方法． （1）以为圆心，任意长为半径画弧，再以相同长度，以为圆心画弧，再以长度为半径，以与弧的交点为圆心画弧，连接点与两弧的交点即为所求； （2）根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）直线与直线平行，理由如下： 由（1）知， 又与是同位角， ． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可； （2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴由同位角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、和是一对对顶角， ∴不能证明 、∵， ∴由内错角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、∵， ∴由同旁内角互补，两直线平行，可得，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 3．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等， ∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 4．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵，∴根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 不能证得，故②不符合题意； ∵，∴根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； ∵，∴根据同旁内角互补两直线平行可得，故④符合题意； 故选：C 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，依次根据四个选项中的度数进行判断即可． 【详解】解：当时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， 当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，如下图所示， 三角形没有边与平行； 当时，延长交于点F，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在下列结论中：；；；．其中能判定的有 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键． 根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：， ，故符合题意； ， ，故不符合题意； ，即， ，故符合题意； ，即， ，故符合题意； 故答案为：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形的性质和直角三角形的性质可求，根据折叠求出，根据平角的定义可求，再根据角平分线定义求出，再根据直角三角形的性质可求的度数，进而得，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 因为， 所以， 根据折叠可得， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定，依次判断各个条件即可． 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行，可判断； ③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； ④， ，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； 综上，能判断的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则 秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，， 解得：t=2； 当时，， 解得：t=14； 当时，木棒a停止运动， 当时，， 解得：t=-10；（不合题意，舍去） 当时，或， 解得：t=50或t=110； 综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行． 故答案为：2或14或50或110 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平角的定义得到，则，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：． 理由：∵点在上， ． ∵， ， ∴（内错角相等，两直线平行）． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是： （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）解：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$