精品解析：山东省枣庄市台儿庄区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期末阶段性诊断 九年级数学试题 亲爱的同学： 祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，祝你成功！ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项在答题纸上填涂． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体的主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案． 【详解】解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 5. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：A． 6. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 8. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案. 【详解】解：如图，记直线y＝t与轴交于点 由反比例函数的系数的几何意义可得： 故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 11. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. 二次函数的最大值为 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可． 【详解】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1， 因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意； 当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意； 由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）， 当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意； 抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 12. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，相交于点，交于点，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，相交于点，交于点， 四边形是菱形，且它的面积为8， ， 点分别是边中点， ， ，， ， ， ， 则的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3，共18分，正确结果填在答题纸上． 13. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】（2,1） 【解析】 【分析】将解析式化为顶点式即可顶点答案. 【详解】∵， ∴二次函数的顶点坐标是（2,1）， 故答案为：（2,1）. 【点睛】此题考查二次函数的一般式化为顶点式的方法，顶点式解析式中各字母的意义，正确转化解析式的形式是解题的关键. 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15. 二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____． 【答案】－1＜x＜3． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示， ∴图象与x轴交在（－1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：－1＜x＜3． 故答案为：－1＜x＜3． 16. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形 由图中数据可知，，，， 在中，，即 解得 是等腰三角形 则的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 三．解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤． 19. 解方程与计算 （1） （2） 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义，特殊角的三角函数值． （1）用公式法求解即可； （2）先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ，； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明从人文景点中选中河下古镇的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的有1种， ∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为． 21. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）直线解析式为，双曲线解析式为 （2）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润W元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1）工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元 （2）当降价4元时，工厂每天的利润最大为9800 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=（批发价−成本价−降价）×数量，列出W关于x的关系，然后代入进行求解即可； （2）根据（1）所列的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 时，（元）， 答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴时，W最大为9800， 答：当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． 23. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据） 【答案】点到水平地面的距离约为． 【解析】 【分析】过作交于，过作交延长线于，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案． 【详解】解：过作交于，过作交延长线于，如下图所示： 在中，， 由30°所对直角边等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， 在中：，代入数据： ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 又已知， 在中：， ， ， 故点到水平地面的距离约为． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键． 24. 已知：如图，矩形的对角线相交于点O，． （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长； （2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ， 是等边三角形， ， 所以． 故答案为：4． （2）在矩形中，． 由（1）得，． 又 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式． （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得： 【小问2详解】 解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末阶段性诊断 九年级数学试题 亲爱的同学： 祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，祝你成功！ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项在答题纸上填涂． 1. 的值等于（ ） A B. C. D. 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. 二次函数的最大值为 B. C. D 12. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3，共18分，正确结果填在答题纸上． 13. 二次函数的顶点坐标是__________． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 15. 二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____． 16. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号） 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 18. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 三．解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤． 19. 解方程与计算 （1） （2） 20. 历史文化名城淮安有着丰富旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 21. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天利润W元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 23. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据） 24. 已知：如图，矩形的对角线相交于点O，． （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求值． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式． （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $