精品解析：浙江省宁波市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

宁波市2024学年第一学期期末试题 高一数学试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求出集合B，再根据集合交集定义和补集定义计算即可. 【详解】由题或， 所以 所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定方法直接得解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 已知函数（，，）的部分图象如下图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图中最高点和最低点结合周期公式即可求出，再将点代入解析式即可求出，进而得解. 【详解】由图可得，， 所以，又由图， 所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：A. 4. 设A，B，C分别是的三个内角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及诱导公式可判断各选项. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B错误. C.，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和、差的正弦公式和同角三角函数的基本关系计算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：D. 6. 已知函数，对任意，下列结论成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数性质，举例说明判断AB；作差判断CD. 【详解】函数的图象关于直线对称，在上递减，在上递增， 对于AB，当在对称轴两侧时，的大小与的大小无关， 因此大小关系不确定，故AB错误； 对于CD， ，即，故C正确，D错误. 故选：C. 7. 若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数有交点问题转化为方程有解，分离参数，构造函数，利用基本不等式求解函数的值域即可得解. 【详解】因为函数与函数的图象有交点，所以方程有解， 由，所以在上有解，记， 则实数a的取值范围是函数的值域， 令，则，当时，； 当时，，当且仅当即时，等号成立， 又，所以， 综上，，所以实数a的取值范围是. 故选：B 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小. 【详解】, , , , 由上可得：， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，时，，不满足，故A错误， 对于B，由于，，故，B正确， 对于C，若，则，又，故，C正确， 对于D，若，则，结合，则，故，D错误， 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称图形 C. 的图象可以由的图象平移得到 D. 的图象与的图象在区间上有唯一公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期公式即可判断A；求出函数的对称中心即可判断B；由正切函数图象性质和余弦函数性质树形结合即可判断CD. 【详解】对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，令，所以函数的对称中心为， 所以当时得点是函数的一个对称中心，故B正确； 对于C，函数图象与的图象关于x轴对称，如图： 由图象结构性质可知的图象不可以由的图象平移得到，故C错误； 对于D，因为时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又当时，代入函数得，代入得， 当时，代入函数得，代入得， 所以的图象与的图象在区间上有唯一公共点，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，如果存在不全为零的实数a，b，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”．下列结论正确的有（ ） A. 为“类奇函数” B. 为“类奇函数” C. 若为“类奇函数”，则可以是偶函数 D. 若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用新定义，构造函数，根据奇偶性的定义以及性质，结合函数图象变换，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，可得，令，因为关于原点对称， ，所以为奇函数，所以叫做关于的“类奇函数”， 故A正确； 对于B，对于，其定义域为，若存在不全为零的实数a，b，使得 为奇函数，设，因为的定义域为， 不关于原点对称，所以不是“类奇函数”； 对于C，若，则为偶函数，则，令， 其定义域为，，所以是奇函数， 所以是“类奇函数”，故C正确； 对于D，若是关于的“类奇函数”，则为奇函数， 设，因为是奇函数，其图象关于对称， 所以的图象关于点成中心对称图形，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由内往外直接代入计算即可. 【详解】由题， 所以 故答案为：. 13. 函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解. 【详解】时，则， 由于在区间上不单调，则，故， 故答案为： 14. 实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角换元可得，即可根据三角函数的最值得求解. 【详解】由可得， 令 则， 要使恒成立，故，解得， 故的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合，其中． （1）若，求a的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据交集为空集列不等式求解即可. （2）由题意，利用集合间的关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为集合，集合，且， 所以或，即. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 集合，集合， 所以，解得，即 16. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ．即． 17. 定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合函数奇偶性得，两式相加和相减即可求解函数解析式. （2）由（1）结合题意且令得，恒成立，进而求出函数，，的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为，且是奇函数，是偶函数， 所以，即， 结合，解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以不等式可以化为， 即，即， 令，则，当且仅当时，取“”， 所以原不等式转化为对任意的，都有恒成立， 设，，易知为上的减函数， 所以的最大值为，所以. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入思想即可得到对称轴方程. （2）先利用图形的变化“左加右减”得到的图象，进而求出函数的解析式，再求出值域；又由整体思想转化得到的值. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，． 【小问2详解】 由题知，， 于是 ． （ⅰ）因为，所以， 即的值域是． （ⅱ）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即． 19. 已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 【答案】（1）函数是上的“1级优函数，理由见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），或． 【解析】 【分析】（1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. 【小问1详解】 函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2024学年第一学期期末试题 高一数学试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数（，，）部分图象如下图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 设A，B，C分别是的三个内角，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知函数，对任意，下列结论成立是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称图形 C. 的图象可以由的图象平移得到 D. 的图象与的图象在区间上有唯一公共点 11. 已知函数，如果存在不全为零的实数a，b，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”．下列结论正确的有（ ） A. 为“类奇函数” B. 为“类奇函数” C. 若为“类奇函数”，则可以是偶函数 D. 若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 13. 函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为__________． 14. 实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合，其中． （1）若，求a取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 16. 单位圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 17. 定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 19. 已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $