精品解析： 北京市昌平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2025北京昌平初三（上）期末 数学 2025.1 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是上的三个点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 7. 如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5 8. 如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数的自变量取值范围是______． 10. 把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为______． 11. 某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为______，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为______m．（结果精确到） 12. 精美的瓷器易碎，修补的技艺--“锔瓷”便应运而生（如图1）．非凡的锔瓷技艺，以巧夺天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承，继续陪在人们身边．如图2一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形瓷器的直径为，缺口A，B之间距离为，则的长为______． 13. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标______． 14. 如图，在中，，，，则的长为______． 15. 如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为______m． 16. 某区域的快递网点位于处，负责区域内五个小区的配送业务，小区间有道路相连，道路长度如图所示．快递员每次配送任务都是从处出发，所有快件配送完毕即完成任务，不用返回网点处，此过程希望快递员的总路程尽可能短．若某次配送任务只包含小区，则配送的最短路程为______．若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为______． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19. 在平面直角坐标系中，点． （1）若反比例函数的图象经过点和点，求和的值； （2）若反比例函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围______． 20. 如图，是边长为的正方形的外接圆． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的扇形面积． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 22. 如图，在中． 求作：正方形，两个顶点在上，另两个顶点分别在和上． 作法： ①在上任取一点，作，交于点； ②在上截取，过点和分别作和的垂线，交于点； ③作射线交于点； ④过点作交于点，过点作交于点， ⑤过点作于点． 则正方形为所求作正方形． （1）补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （______）（填写依据）． 同理可得：． ______． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 23. 炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … （1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； （2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 24. 如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，求的长． 25. 如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … （1）表格中______； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 27. 已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． （1）如图1，若，且点恰好在线段上，求； （2）①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． （1）已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； （2）点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京昌平初三（上）期末 数学 2025.1 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是记住正弦函数的定义． 根据锐角正弦函数定义：在中，，的正弦求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：B． 2. 如图，是上的三个点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3. 把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可得到答案，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， 故选：． 4. 如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 5. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设反比例函数解析式为，根据反比例函数中的几何意义即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由题意得：， ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 反比例函数解析式为， 故选： A． 6. 如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查三角形内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键． 由切线长定理得，，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：与、、分别相切于点、、，，， ，，， ， ， 的周长为10， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要分别求出线段和线段的长度，进而求出相似比，得到两个三角形的面积之比，根据的面积为1，即可求解的面积； 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，, ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为5； 故选：D； 8. 如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函数值，求特殊角等知识． 根据连，根据直径所对的圆周角得到，故①正确，再由 ，半径长为，利用锐角三角函数求，再由圆周角定理求出，由圆内接四边形的知识证明得到，推出，，故③正确，进而推出判断②④错误，则问题可解． 【详解】解：连， ∵为直径， ∴，故①正确， ∵ ，半径长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故③正确， ∴， ∴当点由点向点运动时，当过圆心O时，的长最大， 此时，，故④错误， 随着点继续向运动，的长度逐渐减小，故②错误， 故选：C 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数的自变量取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴自变量取值范围是， 故答案为：． 10. 把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的平移．熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为：． 故答案为：． 11. 某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为______，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为______m．（结果精确到） 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 12. 精美的瓷器易碎，修补的技艺--“锔瓷”便应运而生（如图1）．非凡的锔瓷技艺，以巧夺天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承，继续陪在人们身边．如图2一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形瓷器的直径为，缺口A，B之间距离为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示： ∵，O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数解析式特点，可可求出其与y轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 当时，则， ∴此函数图象与y轴的交点是， 即此函数图象经过的一个点坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，过作于点，则，，故，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为______m． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，以为直径作圆，交于， 四边形是矩形， ， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：和． 16. 某区域的快递网点位于处，负责区域内五个小区的配送业务，小区间有道路相连，道路长度如图所示．快递员每次配送任务都是从处出发，所有快件配送完毕即完成任务，不用返回网点处，此过程希望快递员的总路程尽可能短．若某次配送任务只包含小区，则配送的最短路程为______．若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意正确列出算式并正确计算是解题的关键． ①根据题意，正确列出算式，再根据有理数加法法则计算即可得到答案 ②根据题意，正确列出算式，再根据有理数加法法则计算即可得到答案． 【详解】解：①配送任务只包含小区，则配送的最短路程为：； ②配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为：； 故答案为：①；②． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义．由特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 在平面直角坐标系中，点． （1）若反比例函数的图象经过点和点，求和的值； （2）若反比例函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征： （1）将分别代入即可求解； （2）先确定，再求出临界状态即为经过点时m值即可求出取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点和点，点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在第四象限，反比例函数的图象与线段有交点， ∴， 当反比例函数的图象经过点时， ∴， ∴当反比例函数的图象与线段有交点时，， 故答案为：． 20. 如图，是边长为的正方形的外接圆． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）由是边长为的正方形的外接圆，则，然后用勾股定理即可求解； （）由扇形的面积公式即可求解； 本题考查了正多边形和圆，扇形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴，即， ∴（负值舍去）； 【小问2详解】 解：由（）得：，， ∴． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 描点并连线： 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 22. 如图，在中． 求作：正方形，两个顶点在上，另两个顶点分别在和上． 作法： ①在上任取一点，作，交于点； ②在上截取，过点和分别作和的垂线，交于点； ③作射线交于点； ④过点作交于点，过点作交于点， ⑤过点作于点． 则正方形为所求作正方形． （1）补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （______）（填写依据）． 同理可得：． ______． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2）相似三角形对应边成比例， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的作法以及垂线的作法补全图形即可； （2）证明矩形是正方形．根据相似三角形对应边成比例推出．从而得出从而可推出结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （相似三角形对应边成比例）（填写依据）． 同理可得：． ． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 故答案为：相似三角形对应边成比例，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，作图复杂作图，平行线的作法，垂线的作法，正方形的判定，矩形的判定等知识，熟记各性质定理是解题的关键． 23. 炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … （1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； （2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 【答案】（1）47 （2）炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应，根据已知数据求出抛物线对称轴是解题关键． (1)根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴，那么可得抛物线的顶点坐标，结合表中所给的数据可得炮弹飞行的最大高度； (2)用顶点式表示出抛物线的解析式，取可得炮弹此时的飞行时间． 【小问1详解】 根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴为直线， 那么结合表中所给的数据可得抛物线的顶点坐标为， 则炮弹飞行最大高度为47米． 故答案为：47； 【小问2详解】 拋物线的顶点， 设抛物线表达式为：． 抛物线过点， ． ． ． 当时，， 或4． 答：炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒． 24. 如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明∶方法一： 连接． 是直径， ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 方法二： ， ． ， ． ． ． 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出，根据等边对等角可得出，然后结合已知可得出，最后根据切线的判定即可得证； 方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，结合已知可得出，则，根据切线的判定即可得证； （2）方法一：连接，过点作于点．根据勾股定理可求出，根据圆周角定理并结合已知可得出，根据正切的定义可求出，即可求解； 方法二：过点作的垂线段，连接．判断，根据正切的定义可求出．证明．得出．最后在中，根据勾股定理求解即可； 方法三：连接交于点，连接．根据正切的定义可求出，根据圆周角定理，根据等边对等角可求，进而求出，根据勾股定理可求和，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方法一： 连接，过点作于点． ． 在中，． ． ， ． ． ． 方法二： 过点作的垂线段，连接． ， ． ． 在和中， ． ． 在中，． 方法三： 连接交于点，连接． ， 又， ． ， ， 又， ，， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 25. 如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … （1）表格中______； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】（1） （2）补全的图象如图： （3）①；② 【解析】 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【小问1详解】 解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； 小问2详解】 略 【小问3详解】 （3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． （1）把代入，得，得即得对称轴为直线； （2）代数法：根据拋物线过点， ．根据， ．得．当时，有或解得：．当时，有或解得：．几何法：抛物线的对称轴为，当时， ，则点在点左边，当两点都在对称轴左侧时，，舍；当两点都在对称轴右侧时，由，有解得：，当两点在对称轴两侧时，点的对称点为，由，有解得：．得当时，．当时，，点在抛物线对称轴的左侧，点在对称轴左侧时，有解得：．点在对称轴右侧时，点的对称点为，由，有，无解，得当时，． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 代数法： 拋物线过点， 由（1）知，，拋物线的对称轴为， ． ， ． ． ． ． ． ． 当时，有或 解得：． 当时，有或 解得：． 综上所述，的取值范围是：或． 几何法： 抛物线的对称轴为， 当时，有时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ，即， 则点在点左边， ①当两点都在对称轴左侧时， ，舍； ②当两点都在对称轴右侧时， 由，有， 解得：；　 ③当两点在对称轴两侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由，有 解得：． 当时，． 当时，， 点在抛物线对称轴的左侧 ①点在对称轴左侧时， 有 解得：． ②点在对称轴右侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由， 有， 此不等式组无解， 当时，． 综上所述，的取值范围是：或． 27. 已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． （1）如图1，若，且点恰好在线段上，求； （2）①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得．再由三角形中位线的性质得出．得出．再证明．再得．最后解直角三角形即可得出答案； （2）①按题意补全图形即可； ②先证明垂直平分．可得，从而得出，再证明，可得且，再证明平行四边形是菱形，得出，最后可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接； ， 是等边三角形． ． 点分别是的中点， 是的中位线，． ． ． ． 点关于的对称点是， ． ． ． ． 在中，． ； 【小问2详解】 解：①补全图形如下； ②，证明如下： 连接，设交于点M，如图； ，点是的中点， ． 又是中点， 在中，． 又， 垂直平分． 即， ∵． ， ， 点关于的对称点是， ， ∵， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是菱形， ， 又， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，表示出的关系是解决问题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． （1）已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； （2）点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 【答案】（1）和；，； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，一元二次方程，圆的基本性质，正确理解题意，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“关联点”的定义逐一判断即可； 由点是关于点的关联点，即，且，则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上，从而求出范围； （）先任取一点，作等腰与等腰，由定义可得点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上，若存在点在直线上，则或，从而求出范围； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， 设上的点，则， ∵点是上的点，的半径为1， ∴， 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， ， ∴方程无解， ∴点不是关于点关联点； 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， ∴或， ∴点是关于点关联点； 同理点是关于点关联点； 故答案为：关于点关联点的是点、点点； ∵点是关于点的关联点，即，且， ∴将绕点顺时针旋转，并延长使得，同理将绕点逆时针旋转，并延长使得， 则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上， 如图， ∴或； 【小问2详解】 解：∵点是直线上一点， ∴先任取一点， ∵点是关于点的关联点， ∴，且， ∴作等腰与等腰， ∵点是关于点的关联点， ∴点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上， 如图， 若存在点在直线上，则或， 解得或， 即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $