精品解析：河北省沧州市献县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024—2025学年上学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 若直线与直线平行，则实数a的值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. C. D. 6 5. 已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一支 C. 抛物线的一部分 D. 直线 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞（UnitCell），其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，保留了整个晶格的所有特征.晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布的化学结构特征的最小单元.晶胞具体形状大小由它的三组棱长，，及棱间交角，，（合称为“晶胞参数”）来表征.如图，某晶胞的形状为平行六面体，，，且.设，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 的长为 D. 平面 10. 已知数列，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 的前项和为 D. 的最小值为1 11. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则线段的中点到轴的距离为 C. 若直线经过点，过，分别作抛物线的切线交于点，则 D. 若直线与轴正半轴交于点，在轴负半轴上存在点，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若1，，成等比数列，则______. 13. 已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14. 若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）求曲线与的公共弦长. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 18. 已知数列的前项和为，对任意正整数，满足. （1）令，求； （2）求数列的前项和. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点.记，，的斜率分别为，，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角大小. 【详解】由于直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：D 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 3. 若直线与直线平行，则实数a的值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出来并检验即可. 【详解】由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意. 故选：B. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，计算即可求出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，所以公差. 故选:A. 5. 已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一支 C. 抛物线的一部分 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率两点式求动点的轨迹方程，结合圆锥曲线的定义即可判断轨迹图形. 【详解】设，因为（）， 所以，即（）， 因为，则， 所以动点的轨迹是椭圆的一部分. 故选：A 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过递推公式求出数列的前几项，找出数列的周期性计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 同理，，，，， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 7. 已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的下焦点为，结合椭圆的定义有，进而可得，注意等号成立条件，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，设椭圆的下焦点为， 如图，由椭圆的定义知，所以， 所以， 当且仅当，，三点共线，且点在线段的延长线上时取等号， 因为，，所以，故， 故选：D 8. 已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理列出方程求出离心率. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，， 则，，，， 依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形， 在中，由，得， 化简得，即，，在中，由， 得，化简得，所以双曲线的离心率. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞（UnitCell），其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，保留了整个晶格的所有特征.晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布的化学结构特征的最小单元.晶胞具体形状大小由它的三组棱长，，及棱间交角，，（合称为“晶胞参数”）来表征.如图，某晶胞的形状为平行六面体，，，且.设，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 的长为 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的找法判断A，利用空间向量的加法法则判断B，利用空间向量模的公式判断C，利用空间直线垂直的向量表示判断D即可. 【详解】对于选项A，因为，所以与的夹角是与的夹角， 由题意得该夹角为，由题意得，得到， 即与的夹角为，故A错误； 对于选项B，由空间向量加法法则得，故B正确； 对于选项C，， 解得，即的长为，故C正确； 对于选项D，由已知条件得，，， ，，，， ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知数列，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 的前项和为 D. 的最小值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合给定条件与等差数列的定义判断A，利用等比数列的定义判断B，利用公式法求和判断C，利用数列的单调性判断D即可. 【详解】对于选项A，由于，所以， 即，且，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故A正确； 对于选项B，由得， 又，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 对于选项C，由B知，，故， 得到的前项和，故C正确； 对于选项D，由A知，，故， 设，令， 解得，故当时，， 而，， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则线段的中点到轴的距离为 C. 若直线经过点，过，分别作抛物线的切线交于点，则 D. 若直线与轴正半轴交于点，在轴负半轴上存在点，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据抛物线方程写出准线即可判断；B设，在准线上的投影分别为，，，，利用抛物线定义求线段的中点到轴的距离即可判断；C、D设直线的方程，联立抛物线并应用韦达定理，及已知条件、是否成立即可判断. 【详解】对于A，抛物线的标准方程为，其准线方程为，焦点，故A错误； 对于B，设，在准线上的投影分别为，，，， 根据抛物线定义，由，可得，即， 所以，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，设直线，与抛物线联立，得， 所以，由于，所以， 设抛物线在处的切线的方程为， 代入，得， 由得，即，同理可得， 所以，所以，故C正确； 对于D，设，则，直线， 与抛物线联立，得，所以，， ， 又， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：根据抛物线定义、直线与抛物线关系、韦达定理，结合各项所给的条件得，判断、是否成立为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若1，，成等比数列，则______. 【答案】2或7 【解析】 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由于1，，成等比数列，故，解得或. 故答案为：2或7 13. 已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意求出所需要的坐标和模长，再利用投影向量坐标公式求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则，，， 设两向量所成的角为θ， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 14. 若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】对给定式子合理变形，转化为直线和半圆的位置关系问题，分类讨论求解参数范围即可. 【详解】由，可得， 由，得， 因为关于的方程有两个不相等的实根 所以直线与曲线有2个公共点， 如图，当直线经过点时，，恰好有两个交点； 当时，最多有一个交点，舍去； 当直线与曲线相切时， 得到，解得（舍），或， 由图可知，当直线与曲线有2个公共点时， 实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是合理对给定方程变形，然后转化为直线和半圆的位置关系问题，分类讨论得到所要求的参数范围即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）求曲线与的公共弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解轨迹方程即可. （2）两圆相减求出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解公共弦长即可. 【小问1详解】 设，，因为为线段的中点， ，所以得 又因为点在圆上，所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 圆①，圆②， ①②得，即公共弦所在的直线方程为， 因为圆心到直线的距离， 而圆的半径为2，所以曲线与的公共弦长为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离； （2）同（1）坐标系，向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以， 以为坐标原点，以平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 故，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依据给定条件和双曲线中基本量的关系求解基本量，得到标准方程即可. （2）依据题意设出直线方程，再结合题意用单一变量表示出三角形面积，建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 点到渐近线的距离，且， 解得，，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率不为0， 如图，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 由解得，则 所以， 所以的面积， ， 由的面积为3，得，整理得， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 18. 已知数列的前项和为，对任意正整数，满足. （1）令，求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系结合裂项相消法求解即可. （2）先求出新数列，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，， 两式相减得，，即. 此时，即. 所以， 所以， 又时，，解得，故，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以， 令，则①， ②， ①②得， ，所以. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点.记，，的斜率分别为，，，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，， 如图，设，，直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得，则， 所以，， 所以，，， ， 所以.此时直线的方程为， 直线的方程为，联立， 消去并整理得，解得，所以点在定直线上. 联立，解得，故， ，所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求解椭圆中的基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用条件找到的关系，再确定点的轨迹，将目标式化为单一变量，得到定值即可. 【小问1详解】 因为过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点， 所以设，，因为，所以， 解得，故，将代入方程， 得到，解得，所以，得到， 所以此时椭圆的方程为， 代入，可得， 即，解得或（舍），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是找到目标式中所涉及的斜率的相互关系，然后消去多余的变量，再得到所要求的定值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $