精品解析：广东省广州市第六中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

广州市第六中学2024级高一上学期数学期末考试 出题人：陈彦婷 莫秀玲 审题人：周超 （本试卷共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 设，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若对，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间 上有且仅有 个零点，则实数ω有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 8. 设若 是的最小值，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小值等于4的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上值域为 11. 已知 ， 都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_______________. 13. 已知，则______． 14. 已知函数 ，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数 的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中卷面分3分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 17. 已知角（）的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 交于点． （1）若角是由角的终边顺时针旋转得到的，求的值； （2）若角满足，求的值． 18. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据： ，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 19. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六中学2024级高一上学期数学期末考试 出题人：陈彦婷 莫秀玲 审题人：周超 （本试卷共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，可得集合，利用集合交集运算，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 已知命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、幂函数、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】，， 若命题为真，则；若命题为真，则． 所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式两边平方可得出的值，分析可知，，可知，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则， 因为，等式两边平方可得， 可得，则，所以，， 因为，故. 故选：C. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及 时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或 ，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合 时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 6. 若对，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】令，，依题意可得，恒成立， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上可得的取值范围是. 故选：B 7. 函数在区间 上有且仅有 个零点，则实数ω有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出函数的零点，从而列出函数在 轴右侧的四个零点，依题意得到，即可求出的取范围，即可得解. 【详解】令 ， 则函数的零点为 , 所以函数在 轴右侧的四个零点分别是： ， 函数在有且仅有3个零点， 所以 ，解得，所以实数有最小值为，无最大值. 故选：D 8. 设若 是的最小值，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】.若，则当时，函数的最小值为 ，，不符合题意.排除两个选项.若，则当时，函数，最小值为 ，当时，根据对勾函数的性质可知，当 时，函数取得最小值为，故符合题意，排除 ，故选. 点睛：本题主要考查分段函数的最值，考查了二次函数的最值和利用对勾函数的图像和性质来求最值.首先注意到 是属于函数第一段表达式的，故先将求出来.由于第一段表达式是二次函数的形式，且跟轴有唯一交点，此时 ，故需要才能符合题意.对于第二段，需要用对勾函数的图像和性质来求最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小值等于4的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，利用基本不等式判断B、C. 【详解】对于A：当时， 显然，不符合题意，故A错误； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：若，则，，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A： 的最小正周期，故A错误； 对于B：因为，所以 的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：当，则，因为 在上不单调， 所以 在上不单调，故C错误； 对于D：当，则，所以， 则 在上值域为，故D正确. 故选：BD 11. 已知 ， 都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值. 【详解】定义在上的函数，对任意满足， 对于A，令，得， 令，得，而，则，故A正确； 对于B，再令，代入已知等式得， 将代入上式，得，∴函数为奇函数， ∴函数关于点对称，故B正确； 对于C，再令，代入已知等式， 得，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式： ， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，∴为周期函数，且周期为 ， ∵，∴，∴，， ∴， ∴ ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求得函数的定义域，再结合二次函数和复合函数的单调性的判定方法，即可求解． 【详解】令，即，解得， 令，则，其中， 由函数图象为开口向下，且对称轴为 的抛物线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 函数为增函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调增区间． 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系求出，再利用两角差的余弦公式求值，即得答案. 【详解】由已知得， 又，则， 故 ． 故答案为： 14. 已知函数 ，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数 的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得方程在上有解，代入化简整理，令，换元得 ，在时有解，结合二次函数的图像性质，对 的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】已知函数 ，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以在上有非零解， 即 在上有解， 即 在上有解， 令 ，当且仅当，即时，等号成立， 则 ，在时有解， 令 ，其对称轴为 ， ①当 时，在上单调递减，在上单调递增， 则 ，解得； ②当时，在上单调递增， 则 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围为. 经检验时 ,不合题意， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中卷面分3分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算法则计算可得. （2）利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式. （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，． 时，， 当时，， ． 【小问2详解】 由题意得，， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 函数的值域为． 17. 已知角（）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交于点． （1）若角是由角的终边顺时针旋转得到的，求的值； （2）若角满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出、，再由，则，利用诱导公式及二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点，所以，， 又角是由角的终边顺时针旋转得到的，即， 所以； 【小问2详解】 因为角满足， 所以. 18. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据： ，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可 （2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以， 当 时，由，得，，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时， （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为 （毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为 （）， ②（）， ，当且仅当，即时取等号， 所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 19. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“ 重覆盖函数”的定义判断即可； （2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，对进行分类讨论来进行求解. （3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 对于，有，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 由题意可得的定义域为， 即对任意，存在2个不同的实数）， 使得（其中）， ，则， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根， 故只需时，仅有1个根①： 当时，， 则，此不等式组无解. 当时，令，解得， 当时，， 所以，解得. 当时，不满足①， 当时，， 所以，解得. 综上所述，或 【小问3详解】 因为， 当时，， 当时， 且， 当且仅当 时取等号，所以． 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分），如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围． 【点睛】难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于 定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $