专题07 平行线的性质（6题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题07 平行线的性质 目录 【题型一 两直线平行同位角相等】 1 【题型二 两直线平行内错角相等】 2 【题型三 两直线平行同旁内角互补】 3 【题型四 根据平行的性质探究角度的关系】 3 【题型五 根据平行的性质求角度】 4 【题型六 平行线的性质在生活中的应用】 5 【题型一 两直线平行同位角相等】 例题：（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【题型二 两直线平行内错角相等】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为 ． 【题型三 两直线平行同旁内角互补】 例题：（2023·四川乐山·模拟预测）如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 【题型四 根据平行的性质探究角度的关系】 例题：（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【题型五 根据平行的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【题型六 平行线的性质在生活中的应用】 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【变式训练】 1.（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    7．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，点A、C为边上的两点，，平分，若，则 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知：，试说明：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在，，三处经过三次拐弯后，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即）．若，，求的度数． 15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行线的性质 目录 【题型一 两直线平行同位角相等】 1 【题型二 两直线平行内错角相等】 3 【题型三 两直线平行同旁内角互补】 5 【题型四 根据平行的性质探究角度的关系】 7 【题型五 根据平行的性质求角度】 10 【题型六 平行线的性质在生活中的应用】 12 【题型一 两直线平行同位角相等】 例题：（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，可求出的度数，然后根据对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵和是对顶角， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【答案】130 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，先根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：130． 【题型二 两直线平行内错角相等】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为 ． 【答案】18 【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于．此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 【详解】解：在中，、的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 同理， 的周长是：． 故答案为：18． 【题型三 两直线平行同旁内角互补】 例题：（2023·四川乐山·模拟预测）如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 2．（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 【题型四 根据平行的性质探究角度的关系】 例题：（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 2．（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 【题型五 根据平行的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质， （1）根据平行线的性质得，结合已知即可求得； （2）根据角平分线的性质得，结合平行线的性质得，进一步依据平行线的判定即可判定． 【详解】（1）解：∵， ． 又∵， ∴； （2）证明：平分，， ． 又∵， ． ， ． 【题型六 平行线的性质在生活中的应用】 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1.（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°． 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质；由平角的定义得，由平行线的性质，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点向左作．根据平行线的性质得，然后根据两直线平行，内错角相等，将对应角的度数相加即可得出答案． 【详解】如图，过点向左作． ， ， ，， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设直线与相交于点，根据三角形内角和可得，根据平行线的性质可得，从而可得的度数． 【详解】解：设直线与相交于点，如图： ∴在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 7．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 【答案】63 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到时，与平行，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 当时，与平行， ∴， ∴； 故答案为：63． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，点A、C为边上的两点，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行的性质和角平分线的性质．先根据平角的定义求出，根据角平分线的性质求出，再利用平行线的性质，得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 【答案】#100度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知：，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过点E作直线，使得，利用平行线的性质即可得证． 【详解】解：如图，过点E作直线，使得， 因为， 所以． 因为，所以， 所以． 因为， 所以， 故． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在，，三处经过三次拐弯后，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即）．若，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线性质．过点作，点在点上方．得到．则．得到，即可求出． 【详解】解：过点作，点在点上方． ∵， ． ∵， ． ∵， ， ． 15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数； （2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． 即． （2）证明：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$