2026年中考数学二轮复习压轴题训练-二次函数与交点的问题

2026年九年级中考数学总复习压轴题训练-二次函数与交点的问题 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·月考）已知是y关于x的二次函数，则该函数图象与x轴的交点情况是（    ） A．一定有两个交点 B．只有一个交点 C．没有交点 D．交点情况由m的取值确定 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）根据下表中的二次函数的自变量与与函数的对应值，可判断二次函数的图象与轴（　　） … 0 1 2 … … 1 2 … A．有两个交点，且它们分别在轴两侧 B．有两个交点，且它们均在轴同侧 C．无交点 D．只有一个交点 3．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图象与x轴的交点的情况是（    ） A．只有一个交点 B．没有交点 C．有两个交点且在y轴的同侧 D．有两个交点且在y轴的两侧 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 5．（24-25九年级下·四川巴中·月考）如图，二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴有2个交点，其中一个交点坐标为，与轴交点纵坐标在1和2之间(不包括1和2)．有下列结论：①；②；③；④(为非负数)；⑤为任意实数)；⑥．其中正确的结论有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（   ） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与x轴的另一个交点是 7．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点A位于和之间，顶点P的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数m，都有；③；④若和为图象上两点，则；⑤若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③④⑤ 二、填空题 8．（25-26九年级上·云南玉溪·月考）二次函数的顶点坐标是，与轴的交点是，则二次函数与轴的另一个交点是 ． 9．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 10．（24-25九年级上·吉林·月考）如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ． 11．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 12．（25-26九年级上·重庆·月考）如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为 ；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，另一个交点为，顶点是，与轴的交点的坐标为． (1)求出，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，当函数值为正数时，自变量的取值范围为___________； (3)连接，，求的面积． 14．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 15．（24-25九年级上·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）的顶点坐标为，抛物线与y轴相交于点A，点P在此抛物线上，其横坐标m，该抛物线在A，P两点之间的部分（包括A，P两点）记为图象G． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为a，横坐标之差为b，当时，求m的值； (4)过点P作轴，交抛物线于点Q，连接，以和为邻边构造，若图象G与的边有交点（不包括的顶点），交点记为N，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出m的值． 16．（23-24九年级上·上海·月考）如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． (1)以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； (2)将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ (3)如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 17．（2025·广东广州·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由； (3)点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】计算出判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】∵ ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点个数问题，一般地：二次函数的图象与x轴的交点个数方程的解的个数 的符号． 2．A 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．利用二次函数的自变量与函数的对应值． 【详解】解：根据表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可以发现当时，的值都等于， 又根据二次函数的图象对称性可得：直线是二次函数的对称轴，此时有最大值2， 因此判断该二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧， 故选：A 3．D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及韦达定理：对于二次函数，，是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 先计算对应方程判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断，再通过韦达定理判断两个方程的根的符号，再进行判断即可． 【详解】解：解：令，则， ∵，， ∴方程有两个不同的实数解，同时两个解异号， ∴二次函数图象与x轴有两个交点，且在y轴的两侧， 故选：D． 4．D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是准确识图，熟练运用数形结合思想进行推理判断．根据抛物线的图象和顶点坐标、经过，得出关于二次函数系数的相关式子，利用式子之间的关系推导即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，且与y轴交点在1和2之间， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，代入解析式得，； 又∵，代入上式得，，即； ∵，即，解得，，故②正确； 由图象可知，当时，；当时，； ∴， ∴ ，即 ，故③正确； ∵ ，且抛物线开口向下， ∴ ，即，故④正确； ∵抛物线开口向下，，顶点坐标为，纵坐标最大， ∴，，，故⑤错误； ∵顶点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故⑥正确； 综上所述：正确的有①②③④⑥，共5个． 故选：D． 6．C 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点A的坐标是，且开口向下， ∴对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于正坐标轴上， ∴， ∴， 故A选项正确，不合题意； ∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故D选项正确，不合题意； 根据图象，当时， 故C选项错误，符合题意． ∵抛物线的顶点A的坐标是， ∴直线与有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根，且为， 故B正确，不合题意. 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：由图像可知，二次函数的图象的开口向下，与轴的交点在正半轴，则，， 对称轴，则， ∴，故①正确； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②错误； ∵二次函数的部分图像与x轴的一个交点A位于和之间，对称轴为直线， ∴时对应的函数值大于零，即， ∵， ∴， ∴， 化简得：，故③正确； 若和为图象上两点， 比较两点到对称轴的距离：，即点距离对称轴更远， ∴，故④正确； 如图，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 记，的横坐标分别为，，对称轴为，可知， ∴， 当，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故①③④⑤正确． 故选：D． 8． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标可得对称轴，再利用抛物线的轴对称性求另一个交点即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点是， ∴另一个交点与关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性， 先求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出答案即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 设另一个交点坐标为，根据题意，得 ， 解得， 所以另一个交点的坐标为. 故答案为：. 10． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键． 利用二次函数对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，， ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 11． 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 12． 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画出函数的图象是解题的关键．求得函数的图象与坐标轴的交点，然后根据图象即可求得符合题意的交点坐标；根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出m的取值范围． 【详解】解：令，即， 解得，， 函数与x轴的交点坐标为，， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为， 作出的图象，如图所示， 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 当直线经过点时与函数的图象有三个交点， 联立， 消去y后可得：， 令，可得， 解得， 即时，直线与函数的图象只有3个交点， 观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点． 故答案为：或． 13．(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数的几何应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）代入函数解析式求出点坐标，再结合函数图象即可求解； （）求出顶点的坐标和的长即可求解； 【详解】（1）解：把、代入二次函数解析式得， ， 解得， 即，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 由图象可得，当时，函数图象位于轴的上方，即函数值为正数， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， ∴． 14．(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入 中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得 ，解得． 将点代入得 ，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 15．(1) (2)或 (3)或4 (4)3或 【分析】（1）将点代入函数解析式求出b的值，即可求函数的解析式； （2）先求函数图象与x轴的交点，再由题意可求m的取值范围； （3）分，，，四种情况讨论，并分别求出a，b的值，再结合，解方程即可； （4）根据对称性求出Q点坐标，根据平移的性质，求出M点坐标，再分，，，四种情况讨论，结合平行四边形的性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； （2）当时，， ， 当时，， 解得，， 图象G与x轴有交点， 或， （3）解：点P在此抛物线上，其横坐标m， ， 当时，，， ， ， 解得：或（舍）， 当时，， ， ， 解得：（舍）或（舍）， 当时，， ， 不符合题意， 当时，，， ， ， 解得：（舍）或， 综上所述，m的值为或4． （4），对称轴为， Q点横坐标为， 当时，， ， 四边形是平行四边形， ， 向右平移个单位长度得到， ， 当时，即P点在下方， 当N是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， 把代入得，， 解得（舍）或， 当和时，图象G与的边无交点； 当时，点P在上方， 当N是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， 把代入得， 解得（舍）或， 综上所述，m的值为3或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，平移的性质，平行四边形的性质，熟练运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得：、、，然后求出抛物线过临界点时的a的取值，进而完成解答；确定a、b的取值范围是解答本题的关键； （2）设平移后的直线的解析式为：；的解析式为，根据垂直直线的关系可得，进而确定；再根据点C在上可得，则；再运用勾股定理列方程可得，然后确定，最后根据两点间距离公式即可解答；明确各直线间的关系是解题的关键； （3）设，根据题意和勾股定理可得；再根据可得；设的坐标为，根据两点间距离公式可得，解得：或（舍），即的坐标为；再结合（1）、（2）即可解答；灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点， ∴抛物线的开口一定向下，即；且对称轴为y轴，则、， 当时，；当时，， ； 当恰好过点时，则，； 当恰好过两点时，有，即； 综上，的取值范围为． （2）解：设平移后的直线的解析式为：；的解析式为， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 由点C在上，则，解得：，即， 在中有，即，解得：， ∴, ∴平移距离． （3）解：设， ∵， ∴, ∴，解得：，即； ∵, ∴, 设的坐标为 ∴，解得：或（舍）， ∴的坐标为， （1）可得由，则，解得：． ∴抛物线表达式为：； 17．(1) (2)的距离为定值 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法和对称轴计算公式计算求解即可； （2）由轴对称的性质可得，则都在以A为圆心，半径为3的圆上；可证明，进而可证明，则，即的距离为定值； （3）取点，连接，可证明，得到，则可证明；当点Q在点B右侧时，可证明；求出直线解析式为，则直线解析式为，联立，解得或，则点的坐标为；取，连接，则，可证明，得到，则可求出的坐标为； 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：由轴对称的性质可得， ∴都在以A为圆心，半径为3的圆上； ∵， ∴， 又∵， ∴， 设直线交于J， 由轴对称的性质可得轴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在优弧上取一点K，连接， ∴， ∴， ∴， ∴的距离为定值； （3）解；如图所示，取点，连接， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点Q在点B右侧时， ∵， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； 如图所示，取，连接，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $