精品解析：浙江省杭州第四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

杭州第四中学2024学年第一学期高一年级期末考试 数学试题卷 2025年1月 考生须知： 1.本试卷分试题卷与答题卷两部分.满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效. 4.考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 5. 若，则的最小值为（   ） A 2 B. C. 4 D. 5 6. 著名数学家欧拉曾研究过素数分布问题，并得到不超过整数素数个数可以近似地表示为的结论.根据该结论，估计10000以内的素数的个数约为（ ） （参考数据：，这里为自然对数的底数） A. 1086 B. 2172 C. 4343 D. 5756 7. 已知为锐角，且，，则角等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在集合上函数满足.记的最小值为，最大值为，若集合，设表示集合中元素的个数，则下列命题一定正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 10. 已知，且，则下列不等式中正确的是（   ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若存在四个实数，，，，使得，则（ ） A. 的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分. 12. 已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 13. 已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是__________. 14. 已知是定义在上的偶函数，且，恒成立，若，则满足的实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，用表示． 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 17 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）设，求的最值（用表示）； （3）若第二象限角且满足，求的值． 18. 已知函数，其中且． （1）当时， （i）解不等式； （ii）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； （2）是否存在正实数，使得当函数的定义域为时，其值域恰好为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州第四中学2024学年第一学期高一年级期末考试 数学试题卷 2025年1月 考生须知： 1.本试卷分试题卷与答题卷两部分.满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效. 4.考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集概念求出答案. 【详解】. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可解题. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以该命题的否定为“，”. 故选：C. 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 4. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 5. 若，则的最小值为（   ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性以及正弦函数的值域即可求解. 【详解】因为，令，则， 由于在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，所以， 故的最小值为5. 故选：D 6. 著名数学家欧拉曾研究过素数分布问题，并得到不超过整数的素数个数可以近似地表示为的结论.根据该结论，估计10000以内的素数的个数约为（ ） （参考数据：，这里为自然对数的底数） A. 1086 B. 2172 C. 4343 D. 5756 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数代入，化简求值即可. 【详解】， 故选：A. 7. 已知为锐角，且，，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构角，结合条件，再利用正切的和角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， ∴，∴， 又因为为锐角，所以. 故选：C. 8. 已知定义在集合上的函数满足.记的最小值为，最大值为，若集合，设表示集合中元素的个数，则下列命题一定正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定取最大最小值时自变量的个数，结合逐个辨析即可. 【详解】对于C：若，不妨设中仅有1个元素， 即的最小值为， 若，根据， 有，故，与为最小值矛盾，故C错误； 对于A：若，则，同C可得A错误； 对于D：若，不妨设中仅有1个元素， 即的最大值为，若， 根据， 有，故， 因为为最大值，且若，则，无解，故， 故不等式必成立，故D正确； 对于B：若，则，不妨设有两根，且， 则若存在使得，则由C可得， 此时不成立，故B错误； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期公式判断选项选项A错误；利用三角函数性质求出值域，判断选项B正确；用对称轴公式判断选项C错误；将代入方程，判断选项D正确. 【详解】对于选项A：由，故A错误. 对于选项B：由，故，故B正确. 对于选项C：因为，得，不存在整数k，使得，故C错误. 对于选项D：，故D正确. 故选：BD 10. 已知，且，则下列不等式中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设即可直接判断A；由对数函数性质即可判断B；取特殊值如即可判断C；将代入并计算差值即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为为增函数，，，所以，故B正确； 对于C，当满足，，且，，故C错误； 对于D，由A可得，所以， 所以.故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若存在四个实数，，，，使得，则（ ） A. 的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出函数图象，确定，，，，借助和的单调性求值域的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示： 因为函数与交于4个交点，则，选项A正确； 因为，则， 由于，则， 所以，则，且， ， 令，得，或， 所以，又， 则，所以，且， 所以，则，选项B错误； ， 由，得， ， 由函数在为增函数， 可知，则， 所以，选项C正确； ，设， 则，，且为增函数，所以， 即，选项D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：先数形结合，分别确定四个实数各自的取值范围，再由已知找到，；在判断范围时分别用到了两个函数和的单调性求值域. 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分. 12. 已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解. 【详解】，令， 由题意在上恰有5个零点， 即在上恰有5个不相等的实根， 由的性质可得，解得． 故答案为：． 14. 已知是定义在上的偶函数，且，恒成立，若，则满足的实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】不妨设，由， 得， 所以，令，则， 所以函数在上单调递增，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以对任意的， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得． 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则及对数运算性质计算可得结果. （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果 【详解】（1） . （2）由题意得，，即， ∴. 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； 【小问3详解】 因存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）设，求的最值（用表示）； （3）若第二象限角且满足，求的值． 【答案】（1）； （2）最小值，最大值； （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求解即得； （2）利用正弦函数的性质，求最大最小值； （3）利用二倍角公式、和差角公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数， 当时，由，得， 函数的单调递减区间是； 【小问2详解】 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以当时，函数在处取得最小值，在处取得最大值； 【小问3详解】 由知：，即, 又为第二象限角，故, 故，, 故. 18. 已知函数，其中且． （1）当时， （i）解不等式； （ii）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； （2）是否存在正实数，使得当函数的定义域为时，其值域恰好为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）（i）根据求出参数的值，即可求出函数解析式，再根据对数函数的性质解不等式即可；（ii）依题意可得，参变分离可得在时恒成立，利用换元法及基本不等式求出的最大值，即可得解； （2）若存在适合题意的实数，则，从而得到，则必有，根据复合函数的单调性得到函数在区间上单调递减，即可得到，则、是关于的方程的两个相异实根，从而将问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由知，解得， 所以， （i）由知， 即，解得或， 即不等式的解集为； （ii）依题意可得， 即， 故，即在时恒成立， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 故最大值为，因此； 小问2详解】 若存在适合题意的实数， 则由及知， 因为函数的值域恰好为， 所以，必有. 又因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 从而有，即， 所以， 这表明、是关于的方程的两个相异实根， 所以问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根， 令， 则应有即， 由知，故， 综上，存在适合题意的实数，其取值范围是. 【点睛】关键点睛：第二问关键是分析函数的单调性，从而转化为关于的方程在区间上有两个相异实根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$