精品解析：北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期末检测数学试题

大兴区2024 ~ 2025学年度第一学期期末检测 高一数学 2025.01 本试卷共页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 方程的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在区间上单调递增的函数可以是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，，则a的取值范围是 A. (0，) B. (，1) C. (1，) D. (，2) 9. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 与30°终边相同的角的集合是_____. 12. 已知，则________，的最小值为________． 13. 函数的值域为，能使成立的一个值为________． 14. 已知函数，若，则函数的减区间为______；若存在，使函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是_______． 15. 已知函数，对于都有成立，且满足的有且只有个，其中，给出下列个结论： ① ； ② 可能存在个值满足题意； ③ 函数的最小正周期有可能是； ④ 若在区间上单调递增，则 ． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 17. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，． （1）求的值； （2）写出函数的单调区间； （3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值． 条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若当时，函数在区间上存在零点，写出的值，并说明理由． 20. 已知函数，． （1）求函数的值域； （2）若对任意的恒成立，求的最大值； （3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 21. 对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． （1）若，求的存在共轭集合； （2）若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； （3）若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2024 ~ 2025学年度第一学期期末检测 高一数学 2025.01 本试卷共页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 4. 在区间上单调递增的函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见幂函数的单调性和指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数的单调性，得函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由二次函数的性质，得函数在上单调递减，故C错误； 对于D，因为指数函数在上单调递增，且指数函数在上单调递减，即函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确； 故选：D. 5. 关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式对应的二次函数的对称性可判断. 【详解】由题意，，则不等式是一元二次不等式， 由二次函数的对称性可知，不等式的解集不可能是. 故选：D. 6. 设均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的性质以及成分必要条件可得结果. 【详解】因为均为锐角且“”，得到，故； 得到，故，故是充分必要条件. 故选：C 7. 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象变换得函数的解析式，再根据正切函数的图象和周期公式即可得正数的最小值. 【详解】由题意，得，，设函数的最小正周期为， 因为，所以，，又，， 解得，，所以正数的最小值为6. 故选：A. 8. 当时，，则a的取值范围是 A. (0，) B. (，1) C. (1，) D. (，2) 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B. 【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型. 9. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，以及正弦函数、余弦函数的性质，将自变量的取值代入解析式，即可判断A、B；利用反例可排除C，解不等式，即可化简函数解析式，根据定义域分类讨论，结合诱导公式即可证明D. 【详解】对于A，，，则； 又，，则，所以，故A错误； 对于B，当时，，所以，则， 当时，，所以，则， 因为余弦函数在上单调递减，所以，即，故B错误； 对于C，取，因为，所以， 又，所以，此时不成立，故C错误； 对于D，由，得，即， 由，，解得，， 所以当，时，； 当，时，； 因此，当，时，， 此时，，则， 此时满足； 当，时，， 此时，，则， 此时满足； 综上所述，函数满足，故D正确； 故选：D. 10. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数关系得，即可知，两边取对数得，利用对数的运算性质化简，最后代入参考数据即可求值. 【详解】由题意，当时，，所以，化简得， 因为，，所以，即， 则， . 故选：A. 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 与30°终边相同的角的集合是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义可得. 【详解】与角终边相同的角的集合是. 故答案为： 12. 已知，则________，的最小值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】根据对数运算可解得的值，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意，，由，得，即，则； 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 故答案为：1，2. 13. 函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 14. 已知函数，若，则函数的减区间为______；若存在，使函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性、图象来求得正确答案. 【详解】当时，， 画出的图象如下图所示， 由图可知，的减区间为. 是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减，单调递增， 是奇函数，图象关于原点对称，且在上单调递增， 解得或， 要使函数的图象与直线有两个交点， 则需，图象如下图所示， 若，图象如下图所示， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数，对于都有成立，且满足的有且只有个，其中，给出下列个结论： ① ； ② 可能存在个值满足题意； ③ 函数的最小正周期有可能是； ④ 若在区间上单调递增，则 ． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】将代入函数解析式，即可判断①；利用整体思想，由，得，根据函数在区间上有且只有3个零点，结合余弦函数的图象可得，即可判断②；由，解得，利用周期公式即可判断③，由，得，结合余弦函数的图象和单调性可得，进而得，利用函数思想即可求解的取值范围. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由，，得， 由题意，当时，满足的有且只有个， 所以函数在区间上有且只有3个零点， 又，则， 所以当或时，函数有最大值，即， 所以，当时，存在两个的值，使得有最大值， 即当时，存在个值使得成立，故②正确； 对于③，由，解得，则， 又函数的最小正周期，所以，即， 因为，所以函数的最小正周期不可能是，故③错误； 对于④，因为在区间上单调递增，则， 由，得，又，， 所以，解得， 因为，所以，故④正确； 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式，即可得集合，将代入不等式，即可得集合，最后根据补集、交集的定义计算即可； （2）根据得关于的不等式在上恒成立，利用判别式列不等式，求解即可； （3）根据，且，可得，则使得不等式成立，即可解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 由，解得，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 故的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，又因为， 所以，所以，解得， 故的取值范围是. 17. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得. （2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果. 【小问1详解】 因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为， 由三角函数定义， 【小问2详解】 18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，． （1）求的值； （2）写出函数的单调区间； （3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值． 条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），. （2）单调递增区间，单调递减区间为. （3）若选条件①答案不唯一；若选条件②：，答案不唯一 【解析】 【分析】（1）根据图象得函数的一个周期为,从而求得根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可； （2）根据正弦函数的单调区间，代入计算可得的单调区间； （3）根据,可得的解析式，由为偶函数,再进行计算即可. 【小问1详解】 因为, 代入可得. ∵，∴. ∴，代入可得： ，则，解得：，由图象可知： 【小问2详解】 因为， 令， 化简得，， 令， 化简得， 故函数的单调递增区间， 单调递减区间为. 【小问3详解】 令 为偶函数,解得 若选条件①：，则可取一个符合条件的为； 若选条件②：，则可取一个符合条件的为． 19. 已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若当时，函数在区间上存在零点，写出的值，并说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见详解 （3）1，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据可解，根据，结合对数运算可解； （2）根据函数单调性的定义，以及对数函数的单调性，即可证明； （3）根据零点存在性定理，以及函数的单调性可得的值. 【小问1详解】 由，得，解得， 由，得，即，解得. 【小问2详解】 取，且， 则 由，，得，且，即 ， 于是， 即， 因此，函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 ，理由如下： ①当时， ，因为，所以， ，因为，所以，则， 因为，所以. 又因为函数在区间上单调递增， 因此，根据零点存在定理得： 当时，函数在区间上存在零点， ②当，时， 由，且在区间上单调递增可知： 在区间上不存在零点. 综上所述，满足题意的的值为1. 20. 已知函数，． （1）求函数的值域； （2）若对任意的恒成立，求的最大值； （3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）需要根据正弦函数的性质计算即可求得值域； （2）令,即将问题转化为对任意的恒成立,通过变形可得，计算即可求得结果; （3）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解. 【小问1详解】 ∵， ∴，则， ∴，即函数的值域为. 【小问2详解】 令，∵，∴， ，对任意的恒成立, 即为对任意的恒成立, 由化简可得：， ∵，当且仅当时，即时，取等号. ∴，则，即的最大值为. 【小问3详解】 ∵任取， ∴， 即在上的值域， 设的值域为，若任取，总存在，使成立，则， 令，则， ，即为,开口向下，对称轴为， 当时，即时，在上单调递减， 由可得：，解得：. 当时，即时，在上单调递增， 由可得：，解得：. 当时，即时，在时，取得最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 21. 对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． （1）若，求的存在共轭集合； （2）若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； （3）若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 【答案】（1）； （2）证明：不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即. （3）4. 【解析】 【分析】（1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件①结合条件②推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件①和条件②逐步分析得即可由得解. 【小问1详解】 因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $