精品解析：安徽省阜阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度（上）期末学业结果诊断性评价 九年级数学 注意事项： 1．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 2．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若为锐角，且，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 如图，小明在练习本上画出直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 常数 B. 随的增大而增大 C. 若，在该图象上，则 D. 若在该图象上，则也在该图象上 7. 下列各条件中，能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 8. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 9. 如图，在以为原点的平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若，且的面积是，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 12. 抛物线的对称轴为______． 13. 如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA＝_____． 14. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 2 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上． （1）请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1； （2）直接写出（1）中C1点的坐标为______． 18. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P． （1）求证：PE=PD； （2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，） 20. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，海中两个灯塔、，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 七、（本题满分12分） 22. △ABC中，AB=5，AC=4，BC=6． （1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值； （2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上）期末学业结果诊断性评价 九年级数学 注意事项： 1．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 2．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．根据二次函数的定义：“形如，这样的函数叫做二次函数”，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，整理，得：，是一次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可． 【详解】根据反比例函数的图象位于二、四象限知， 根据二次函数的图象确知，， 函数的大致图象经过二、三、四象限， 故选C． 【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 4. 若为锐角，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据的正弦值得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，小明在练习本上画出直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出对应线段是解题的关键． 【详解】A.，，结论正确，故不符合题意； B.，，结论正确，故不符合题意； C.线段不是直线m，n上的线段，与不一定相等，结论错误，故符合题意； D.，，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 6. 反比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 常数 B. 随的增大而增大 C. 若，在该图象上，则 D. 若在该图象上，则也在该图象上 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质逐条判断即可． 【详解】解：A. 反比例函数图象在二、四象限，所以常数，不符合题意； B. 在每个象限内，反比例函数随的增大而增大，不符合题意； C. 若，在该图象上，则，不符合题意； D. 因为，，所以若在该图象上，则也在该图象上，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数图象，确定反比例函数比例系数正负，结合图象得出正确结论． 7. 下列各条件中，能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 8. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，转化为有2个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：依题意，中，， 解得： 故选：B． 9. 如图，在以为原点的平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若，且的面积是，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点D的横坐标为m，根据反比例函数的图象与相交于点，得D点坐标；再根据矩形的性质，并结合题意，可分别的点A、B、C、E的坐标；根据矩形面积，通过计算即可得到答案． 【详解】设点D的横坐标为m ∵反比例函数的图象与相交于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵矩形 ∴， ∴ ∵反比例函数的图象与相交于点 ∴ 矩形面积 ∵矩形面积 ∵的面积是 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、矩形的性质，从而完成求解． 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ＝，＝， 最短也就是最短， 过作的垂线， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：C． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴为______． 【答案】直线 【解析】 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称轴，将抛物线的解析式化为顶点式是解题的关键． 13. 如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠A的度数，由D是AB中点，DE⊥AB利用等腰三角形的三线合一可得出AE=BE及∠ABE的度数，利用三角形外角的性质可得出∠BEC=∠C，进而可得出BE=BC=AE．设BC=x，则CE=AC-AE=4-x，易证△ABC∽△BEC，利用相似三角形的性质可求出x的值，再利用余弦的定义可求出cosA的值． 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°． ∵D是AB中点，DE⊥AB， ∴AE＝BE，∠ABE＝∠A＝36°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C， ∴BE＝BC＝AE． 设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x． ∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BEC， ∴，即， 解得：（舍去）， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出AE的长是解题的关键． 14. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 【答案】 ①. ﹣8 ②. m＜﹣3 【解析】 【分析】（1）根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案； （2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令＝x，整理得，可得Δ＝＞0，解得m＜1，再设，由a＜1＜b，可得x＝1时，y＝3+m＜0，解得m＜﹣3，即可求解． 【详解】解：（1）∵点（2，2）是此函数的同值点， ∴抛物线经过（2，2）， 将（2，2）代入得2＝4+6+m， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8． （2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上， 令＝x， 整理得， ∵函数有两个相异的同值点， ∴Δ＝＞0， 解得m＜1， 设， ∵a＜1＜b， ∴x＝1时，y＝3+m＜0， 解得m＜﹣3， 综上可知，m＜﹣3， 故答案为：m＜﹣3． 【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 【答案】 【解析】 【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案． 【详解】解： 原式=2×＋4×·－ =1＋6－ =． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，牢记特殊三角函数值是解题的关键． 16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 2 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）二次函数的解析式是y=x2+3x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴是直线x=﹣． 【解析】 【详解】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可； （2）运用配方法得y，从而求出顶点坐标和对称轴. 试题解析：（1）由题意，得 解这个方程组，得 ， 所以，这个二次函数的解析式是. （2） 顶点坐标为； 对称轴是直线. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上． （1）请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1； （2）直接写出（1）中C1点的坐标为______． 【答案】 （1）△A1BC1为所求三角形： （2）（1，0）． 【解析】 【分析】（1）延长BC到C1，使CC1=BC，延长BA到A1，使AA1=BA，连接A1C1，可得出所求三角形； （2）根据图形确定出C1点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）根据（1）得C1点的坐标为（1，0）． 故答案为（1，0）． 【点睛】本题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 18. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P． （1）求证：PE=PD； （2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长． 【答案】 (1)证明:过点D作DF∥AC交BC于点F, ∴∠ACB=∠DFB,∠FDP=∠E, ∵AB=AC（已知）, ∴∠ACB=∠ABC, ∴∠ABC=∠DFB, ∴DF=DB, 又∵CE=BD（已知）, ∴CE=DF, 又∵∠DPF=∠CPE, ∴△ECP≌△DFP, ∴PE=PD, (2)6. 【解析】 【分析】（1）过点D作DF∥AC交BC于点F,根据平行线的性质可得:∠ACB=∠DFB,∠FDP=∠E,根据AB=AC,可得∠ACB=∠ABC,进而可得∠ABC=∠DFB,因此DF=DB,再根据CE=BD,可得CE=DF,根据∠DPF=∠CPE,利用全等三角形的判定定理可得:△ECP≌△DFP,根据全等三角形性质可得PE=PD, (2)根据CE=BD,AC=AB,CE:AC=1:5,可得BD:AB=1:5, 根据DF∥AC,可证得△BDF∽△BAC,根据相似三角形的性质可得, 由BC=10,代入上式可得BF=2,FC=8,根据△DFP≌△ECP,可得FP=PC,因此PF=4，继而可得BP=BF+FP=6． 【详解】（1）略 （2）解:∵CE=BD,AC=AB,CE:AC=1:5（已知）, ∴BD:AB=1:5, ∵DF∥AC, ∴△BDF∽△BAC, ∴, ∵BC=10, ∴BF=2,FC=8, ∵△DFP≌△ECP, ∴FP=PC, ∴PF=4， 则BP=BF+FP=6． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，） 【答案】92.5 【解析】 【分析】过点作于点，延长交地面于点，利用即可进行求解. 【详解】过点作于点，延长交地面于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴把手离地面的高度为. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解. 20. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) ； (2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元； (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【解析】 【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式． （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值． （3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴w与x的函数关系式为：． （2）， ∵﹣2＜0， ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150， 解得x1=25，x2=35． ∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【点睛】本题考查二次函数的应用.根据题意列出函数是解题的关键. 六、（本题满分12分） 21. 如图，海中两个灯塔、，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用以及方向角的定义，掌握三角函数的应用以及方向角的定义是解题的关键． 分析题意，首先过点作，垂足为，过点作，如图所示，设；根据方向角的定义以及锐角三角函数关系可得，据此即可求出的值；接下来再根据锐角三角函数关系可得，据此即可求出，即可解出、间的距离． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，如图所示： 由题意可得出：， ， 则， ， 设， ∵， 解得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ． 答：灯塔、间的距离为海里． 七、（本题满分12分） 22. △ABC中，AB=5，AC=4，BC=6． （1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与的比值； （2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB′与MC′重合，折痕为MN，求AN的长． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长； （2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为1，求得NC′的长，进而得到AN的长度． 试题解析：（1）如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB， ∴∠EAD=∠BAD=∠EDA， ∴ED=EA，即三角形ADE是等腰三角形， 设CE=x，则AE=4﹣x=DE， 由DE∥AB，可得 ，即， 解得x=， ∴CE=， 由DE∥AB，可得 ， ∴； （2）由折叠得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4， ∴△ABC∽△NB′C′， ∴， 设NC′=4a，则BN=B′N=5a， ∵BC=AB﹣AC′=5﹣4=1， ∴NC′+BN=1，即4a+5a=1， 解得a=， ∴NC′=， ∴AN=+4=． 【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）能，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为，将代入求出a值即可； （2）令，求出点B坐标，进而求出，，利用三角形面积公式即可求解； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 时，， 能在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $