精品解析：甘肃省庆阳市华池县第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 等差数列的前项和为，公差，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求准线方程. 【详解】抛物线方程化成标准方程为：， 所以，且抛物线开口向上， 所以抛物线准线为：. 故选：B. 3. 从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 【答案】A 【解析】 【分析】由组合数的定义求解即可. 【详解】从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动有种方法. 故选：A. 4. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，再求点到线的距离. 【详解】圆圆心坐标为， 点到直线的距离. 故选：B 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先求出展开式的通式公式，然后根据题意可得所求的系数为展开式中的系数减去2倍的的系数. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，列出数列前几项，可得数列有周期性，进而利用周期性求. 【详解】由，， 得，，，，，…， 由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3， 故. 故选：C. 7. 已知椭圆在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得四边形为矩形，进而由倾斜角可得为等边三角形，根据几何关系可得，进而可得. 【详解】如图所示，因为，且分别为和的中点， 所以四边形为矩形. 又因为直线过原点且倾斜角为60°，即，， 所以为等边三角形，所以， 在中，可得，即， 所以，可得， 所以椭圆的离心率为. 8. 过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为． 【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程，消去得：， 设，，，， ， ， 由抛物线的性质可知：， ，直线的斜率为：， ， ， ， ， 抛物线方程为：，准线方程为：， 设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：， 而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示： 的最小值为3， 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 故选：AB 10. 数列的前项和为，且，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则的公差为1 B. 若数列为等差数列，则的首项为1 C. D 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用待定系数法可求等差数列的首项和公差，即可判断A、B；利用并项求和以及等差数列前项和公式可判断C，再利用作差法可判断D. 【详解】若数列为等差数列，则可设， 所以 ， 所以解得，， 所以，所以数列的首项为0，公差为1，故A正确，B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ， 因为， 即，故D正确. 故选：ACD. 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ） A. 由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ； C. 第条斜线上各数字之和为； D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断AB；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断CD选项. 【详解】解：根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得，成立，故AB选项正确； 对于CD选项，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为， 第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为， 第5条斜线上数为，第6条斜线上的数为， 第7条斜线上的数为， 由此，归纳得到：第条斜线上的数依次为： 第条斜线上的数依次为： 所以，第条斜线上各数字为：，和为，故C错误； 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有__________. 【答案】90种 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 13. 已知，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由于的展开式中只有的展开式中含，所以可得，然后分别赋值令，可求得和的值，从而可求出，结合已知可得，从而可求得结果. 【详解】解：因为的展开式中 只有的展开式中含，所以， 中 令，可得， 令，可得， 所以， 所以， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】先由已知条件可知双曲线两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】，，，则 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，半径分别为， 所以， 则 ， 故答案为：9 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线过点. （1）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【小问1详解】 由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 【小问2详解】 设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 16. （1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项． 【答案】（1）600；（2）193. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案； （2）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240 135小，当首位数字为2时考虑比240 135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案. 【详解】（1）由于是五位数，首位数字不能为0， 首位数字有种排法； 其它位置有种排法； 所以，用0，1，2，3，4，5可以组成个无重复数字的五位数. （2）由于是六位数，首位数字不能为0， 首位数字为1有个数， 首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数， ∴从小到大排列，240 135是第＋＋1＝193个， 即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，240 135是数列的第193项 17. 已知数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前20项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由等差数列定义可知为等差数列，进而求出通项公式，利用与关系即可求； （2）结合（1）可求，利用裂项相消法即可求. 【小问1详解】 ∵数列的前项和为满足， ，而， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即， 当时，，显然也满足上式， . 【小问2详解】 由（1）知，， ， . 18. 已知椭圆的左焦点，右顶点． （1）求的方程 （2）设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得的值，即可得答案. （2）设点 ，即可得M点坐标及直线OM的方程，与直线l联立，可得N点坐标，即可得坐标，结合数量积公式，即可得证 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为． 因为椭圆的左焦点，右顶点， 所以，． 所以， 故C的方程为：； 【小问2详解】 设点，且， 因为为线段的中点，所以， 所以直线的方程为：， 令，得，所以点， 此时，，， 所以 ， 所以，所以． 19. 设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足． （1）求C的离心率； （2）若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）直线与圆O相切，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设易知与相互垂直平分，结合直径、在圆上列方程求离心率； （2）由题意双曲线，且圆，，半径，令且，，利用垂直关系得，再写出直线的方程，应用点线距离公式判断到直线距离与半径大小，即可得结论. 【小问1详解】 由，即也是以为直径的圆的一条直径，所以与相互垂直平分， 又在圆上，所以，又， 所以. 【小问2详解】 直线与圆O相切，理由如下： 由题设，双曲线，且圆，，半径， 令且，，则，，又， 所以，则， 则直线，整理得， 所以到直线距离，又， 则， 所以直线与圆O相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省华池县第一中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 等差数列的前项和为，公差，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 4. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 20 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 7. 已知椭圆在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，则下列说法正确是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 10. 数列的前项和为，且，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则的公差为1 B. 若数列为等差数列，则的首项为1 C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ） A. 由 “与首末两端等距离两个二项式系数相等” 猜想 B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ； C. 第条斜线上各数字之和为； D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有__________. 13. 已知，且，则_____. 14. 已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线过点. （1）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 16. （1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项． 17. 已知数列的前项和为，满足，. （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前20项和. 18. 已知椭圆的左焦点，右顶点． （1）求的方程 （2）设为上一点（异于左、右顶点），为线段中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 19. 设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足． （1）求C的离心率； （2）若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $