精品解析：浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

杭州第四中学2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试题卷 命题人：王军伟 审题人：王元真 2025年1月 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解. 【详解】由，所以， ，解得. 故选：D. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系列式求解即可. 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得， 当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去. 故选：B 3. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：B. 4. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 12 C. 15 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以， 则，解得：或0（舍去）. 因为，所以，故. 故选：C 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 6. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 7. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的递推关系求得通项公式，再结合等比数列求和公式即可求出结果． 【详解】因为 (n＝0,1,2，…)，所以， 所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1 所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6， 故选：B 8. 已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义得到条件，然后用基本不等式证明，最后给出一个的情况即可. 【详解】设切线的切点为，则. 且由，及该直线斜率为，知. 所以，故，从而代入知，即. 所以. 当，时，有，. 所以的最小值是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（ ） A. 质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B. 优等品有45件 C. 质量的众数在区间内 D. 质量的中位数在区间内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及其数据特征估计值的计算，可得答案. 【详解】对于选项A，质量的平均数为（克），选项A正确； 对于选项B，优等品有件，选项B正确； 对于选项C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间[98，100）内，所以选项C错误； 对于选项D，质量在内的有45件，质量在内的有15件，质量在内的有5件，所以质量的中位数一定落在区间内，所以选项D正确． 故选：ABD. 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案． 【详解】等差数列的前项和为， ，所以， ，所以，所以且， 所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值． 故D正确，ABC错误． 故选：ABC． 11. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为和 ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别为和 ， 所以甲、乙两人射击一次不能命中目标的概率分别为和 ， 则两人各射击一次，都没有命中目标的概率， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为 故答案为：. 13. 已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是________. 【答案】74 【解析】 【分析】设点，由两点间距离公式得到，再由几何意义得到表示圆上的点到原点的距离的平方，转化为圆心到原点的距离，进而可求出点到原点的距离的最大值，代入求解即可. 【详解】设点.∵点，，， 其中的几何意义为：点到原点的距离的平方. ∵点为圆上的动点，圆心到原点的距离为5， ∴点到原点的距离的最大值为5+1=6， 的最大值为. 故答案为：74. 14. 已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出数列的相邻两项的关系式，可得数列为等差数列，然后求解数列的通项公式，利用数列的函数的特征，转化求解即可. 【详解】正项数列的前n项和为，，且满足， 可得，两式相减可得：， 化为，可得， 所以数列是等差数列，首项为1，公差为1， 所以，因为，即恒成立， 所以令， 由，可得， 时，数列是递减数列，时，数列是递增数列， 时，取得最大值， 所以即的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线：. （1）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【小问1详解】 由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. 【小问2详解】 已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）解法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值； 解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值； 【小问1详解】 因为底面，平面，所以. 四边形是直角梯形，，， 因为，所以. 所以，所以. 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解法一： 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 取，则，得. 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以，二面角的余弦值为. 解法二： 取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则. 取，则，则. 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，则. 当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间； 当时，由，可得，由，可得. 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，. 综上所述，. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为． （1）求C的方程； （2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上； （3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明如下： 设这组平行线的方程为，与联立消去x，得， 则，得． 设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根． 所以， 消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上． （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案； （2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案； （3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 设，，由题意得， 解得，所以C的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，l与C相离， 当直线与C相切时，，解得或． 当时，直线与l的距离为，此时， 当时，直线与l的距离为，此时， 所以面积的取值范围为． 19. 记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． （1）若，用表示； （2）证明：； （3）若，，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，由项系数相等可得； （2）利用新定义证明即可； （3）根据多项式的乘法可得，然后利用通项公式整理化简即可得证. 【小问1详解】 因为 ， 且， 所以，由可得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 又因为 所以， 所以. 【小问3详解】 对于， 因为， 所以， 所以， 所以， ， 所以， . 【点睛】难点点睛：本题属于新定义问题，主要难点在于对新定义的理解，利用多项式的乘法分析，结合通项公式即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州第四中学2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试题卷 命题人：王军伟 审题人：王元真 2025年1月 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 12 C. 15 D. 31 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 6. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（ ） A. 质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B. 优等品有45件 C. 质量的众数在区间内 D. 质量的中位数在区间内 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为和 ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为________. 13. 已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是________. 14. 已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线：. （1）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求在上的最大值． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为． （1）求C的方程； （2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上； （3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围． 19. 记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． （1）若，用表示； （2）证明：； （3）若，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $