精品解析：广东省肇庆市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题

★开封前注意保密 肇庆市2024—2025学年第一学期高一年级期末统一考试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若是的必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知只有一个实数能使关于方程成立，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 4. 已知正实数满足，则最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知幂函数在上单调递减，则实数的取值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 下列函数是奇函数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 8. 已知行列式的计算公式为，若，对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形的弧长为 B. 该扇形的周长为 C. 该扇形的面积为 D. 该圆形金属板的周长为 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 或 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. __________． 14. 定义设，则最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的最小值及取得最小值时自变量的集合； （2）求在上的单调区间． 17. 小王同学每天6点从家出发开始晨跑，他跑步的路程（单位：米）跟时间（单位：分）满足二次函数的关系，记6点为时刻，且. （1）求的函数解析式； （2）令，且，当为何值时最小，并求最小值. 18. 若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． （1）求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； （2）求函数图象的对称中心，并给出证明； （3）在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）利用定义法证明函数是增函数； （3）已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一正实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ★开封前注意保密 肇庆市2024—2025学年第一学期高一年级期末统一考试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可. 【详解】，，． 故选：D． 2. 已知，若是必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是必要条件，，. 故选：B. 3. 已知只有一个实数能使关于的方程成立，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况研究方程的解. 【详解】当时，方程的解为，符合题意； 当时，由可得，解得． 综上所述，的值为0或1． 故选：D． 4. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将已知变形为，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值. 【详解】． ． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 5. 已知幂函数在上单调递减，则实数的取值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质及可求解. 【详解】为幂函数， ，解得或． 又在上单调递减，，故， 故选：A． 6. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0，故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故选项D错误. 故选：A． 7. 已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数恒过定点的性质求解. 【详解】根据题意，， 因为当恒等于零时，， 此时所以过定点． 故选：D． 8. 已知行列式的计算公式为，若，对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，根据可得结果. 详解】由题意得，， ∵对任意的都有恒成立， ∴在上恒成立， ∴，解得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形的弧长为 B. 该扇形的周长为 C. 该扇形的面积为 D. 该圆形金属板的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式逐项判断即可. 【详解】选项A：该扇形的弧长，故A说法错误； 选项B：该扇形的周长，故B说法正确； 选项C：该扇形的面积，故C说法正确； 选项D：该圆形金属板的周长，故D说法错误； 故选：BC 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由，知，即，两边同时除以大于零的，可知A选项正确； 对于B，当时，若，则，可知B选项错误； 对于C，，可知C选项正确； 对于D，，可知D选项错误． 故选：AC． 11. 已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 或 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，运用偶函数定义判定；对于B，转化为的两根分别为，换元转化为对勾函数与函数的图象有两个交点，结合图像判定即可；对于C､D，运用换元，转化，结合二次方程，韦达定理计算判定即可. 【详解】对于A，， 为偶函数，可知A选项正确； 对于B，有两个零点，即的两根分别为， 令，则，即函数与函数的图象有两个交点， 由对勾函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点，可知B错误； 对于C､D，有两个零点，即的两根分别为， 令，则，则①，设为①式的两根， 则，即③， 由③式可知，则，可知C､D选项正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13. __________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数运算性质及换底公式可得结果. 【详解】由题意得， ． 故答案为：1. 14. 定义设，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】分析与的大小关系，作出函数的图象即可确定最大值. 【详解】设， 作出函数的图象，由图象可得，当或时，， 当时，，当时，，当时，， ∴， 画出图象，由图象可知． 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集、交集和补集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系，按是否为空集分类讨论即可. 【小问1详解】 若，则集合，， 则， 或， 则或或． 【小问2详解】 集合，，若， 当为空集时，此时； 当不为空集时，， 因为，所以， 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求的最小值及取得最小值时自变量的集合； （2）求在上的单调区间． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为；单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据得，利用正弦型函数的性质可得结果. （2）整体代入可求函数的单调区间，结合可得结果. 【小问1详解】 由题意得，∴， ∴，解得． ∴当取得最小值时，自变量的集合为． 【小问2详解】 由得，， ∴的单调递增区间为． 由得，， ∴的单调递减区间为． ∵， ∴令，可知在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，在上的单调递增区间为；在上的单调递减区间为． 17. 小王同学每天6点从家出发开始晨跑，他跑步的路程（单位：米）跟时间（单位：分）满足二次函数的关系，记6点为时刻，且. （1）求的函数解析式； （2）令，且，当为何值时最小，并求最小值. 【答案】（1） （2）当时， 最小， 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式先求得，再根据题目条件即可求解； （2）由题可知的解析式，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 . 又，， 解得，.. 【小问2详解】 由题知， . 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，当时，最小，. 18. 若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． （1）求函数图象对称轴（直接写出结论，不需证明）； （2）求函数图象的对称中心，并给出证明； （3）在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】（1）直线 （2）对称中心为点，证明见解析 （3）对称中心为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. 【小问1详解】 函数图象的对称轴为直线. 【小问2详解】 函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得. 故函数图象的对称中心为点. 【小问3详解】 关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）利用定义法证明函数是增函数； （3）已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一的正实数，使得． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）原不等式可转化为，根据对数函数的单调性求解即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）利用同构结合（2）的单调性和零点存在定理可得证. 【小问1详解】 由题意，则由可知，，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数是增函数． 【小问3详解】 令，则，故， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，令， 由（2）知函数是增函数，且，， 故存在唯一的正实数，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$