精品解析：广东省汕头市金平区2024～2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷

金平区2024~2025学年度第一学期高一级教学质量监测 数 学 试 卷 说明：本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟， 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动．用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列角的终边落在射线上的是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知角α满足，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ） A B. C. D. 7. 已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是周期为4的周期函数 D. 二、多选题：3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分． 9. 下列选项中与的值不恒相等的有（ ） A. B. C. D. 10. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 13. _______. 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数取值范围__________． 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 16 已知函数， （1）求A； （2）函数的最小正周期 （3）求函数在上的最大值及相应x的值． 17. 已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k （1）求k的最大值 （2）求的最小值 （3）若恒成立，求实数m的取值范围 18. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金平区2024~2025学年度第一学期高一级教学质量监测 数 学 试 卷 说明：本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟， 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动．用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的性质化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】， 又，则， 故选：D． 2. 已知是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由且，得，反之，不成立，如取满足，而且不成立， 所以“且”是“”充分不必要条件． 故选：B 3. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算出的值，再根据对数函数的单调性可知，从而判断a，b，c的大小关系. 【详解】由题意，，，， 所以， 故选：C. 4. 下列角的终边落在射线上的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】在射线上取一点，根据象限角的概念和三角函数的定义判断即可. 【详解】在射线上取一点，则点位于第三象限， 因为和的终边都在第一象限，所以A、B、D错误， 又，符合题意，故C正确. 故选：C. 5. 已知角α满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系“弦化切”，即可求值. 【详解】由题意，， 故选：C. 6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项. 【详解】因， 所以，， 若，则，排除C， 若，则，排除AB. 故选：D 7. 已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“三个二次”关系，先确定是方程的两个不等根得出关系式再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题设是方程的两个不等根， 所以， 又，则， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：B 8. 已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是周期为4的周期函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可判断函数的奇偶性，周期性以及单调性，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由的图象关于直线对称，知的图象关于y轴对称， 所以是偶函数，所以B错误. 在中，令得， 又，所以，所以，知是周期为6的周期函数，所以C错误. 对于，当时，， 故在上单调递减，所以，所以A错误. 对于D，，， 由在上单调递减，得即，D正确， 故选：D 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 二、多选题：3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分． 9. 下列选项中与的值不恒相等的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项. 【详解】，，，. 故选：BCD. 10. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，有， 当时，，所以， 由于是定义在上奇函数，所以. ， 由此画出的图象如下图所示， 由图可知的值域为，A选项正确. 当时，令，解得， 所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确. 关于的方程的根为，所以C选项错误. 当时，，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛： 奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质. 函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段. 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 【答案】3 【解析】 【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算． 【详解】设，则，，即， ∴． 故答案为：3. 13 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂、对数的运算计算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为与的图象有个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有个交点， ， 当时，， 当时，， 当，时，，的大致图象如下， 要使与的图象有个交点， 则，解得或.   故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，再应用集合交运算求结果； （2）由包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，， 所以； 【小问2详解】 由，若，则满足题设； 若，则，即； 综上，. 16. 已知函数， （1）求A； （2）函数的最小正周期 （3）求函数在上的最大值及相应x的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据方程即可求解值； （2）根据正弦型函数的周期公式即可求得周期； （3）根据正弦函数的图象可求函数最大值，再解出即可. 【小问1详解】 由于函数，， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）知：， 则的最小正周期； 【小问3详解】 由，得， 则，所以， 所以函数的最大值为， 此时，解得. 17. 已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k （1）求k的最大值 （2）求的最小值 （3）若恒成立，求实数m的取值范围 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求最值； （2）由，得，则，进而利用基本不等式即可求最值； （3）将恒成立问题转化为最值问题，求解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以由基本不等式可得： ，得； 当且仅当时，等号成立， 即，则，故的最大值为1． 【小问2详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 【小问3详解】 因为恒成立，所以， 即，解得， 所以，实数的取值范围为. 18. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少. 【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式， （2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解 【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为， 对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以 ，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ， （2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用 ， 所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， 【小问3详解】 由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$