精品解析：陕西省汉中市多校2024-2025学年高二上学期1月期末校际联考数学试题

2024~2025学年度第一学期期末校际联考试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若直线与直线平行，则实数（ ） A. 2 B. C. -2 D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 4. 一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.044 B. 0.046 C. 0.050 D. 0.090 7. 在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 展开式中各二项式系数之和是 C. 展开式中第三项的二项式系数最大 D. 展开式中的常数项是20 10. 已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 11. 已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（ ） A. 飞船向径的取值范围是 B. 飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D. 飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知随机变量服从二项分布，则_____. 13. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则的值为_____. 14. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有_____种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求直线的方程； （2）若以点为圆心的圆恰好与直线相切，求圆的标准方程. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 18. 为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查. 分数 人数 10 15 45 20 10 （1）求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）； （2）假设分数Z近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数(结果四舍五入)； （3）学校规定：分数在内为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望. （参考数据：若随机变量，则） 19. 如图，在圆锥中，为圆锥底面直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. （1）证明：平面； （2）若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末校际联考试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则实数（ ） A. 2 B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于两直线平行，可得其斜率相同，从而可求出答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 故选：B 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义进行计算即可． 【详解】全集，集合，则， 故选：C 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心和半径求得圆心距，根据圆与圆关系的条件即可得 【详解】圆的圆心，半径， 的圆心，半径， 所以， 所以相离， 故选：C 4. 一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，每位乘客都有种下车方式， 所以，乘客下车的可能方式共有种. 故选：A. 5. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意依次分析选项中函数的奇偶性和单调性即可得答案． 【解答】对于A：是正弦函数且为奇函数，且在区间上是增函数，故A符合题意； 对于B：是指数函数不是奇函数，故B不符合题意； 对于C：是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意； 对于D： 是反比例函数且是奇函数，但在区间上是减函数，故D不符合题意. 故选：A． 6. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.044 B. 0.046 C. 0.050 D. 0.090 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】记现任取一件零件它是次品为事件， 则. 故选：B 7. 在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，以及，由公式即可得解. 【详解】由题意，以为原点，分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，， 所以， 则， 不妨设平面的法向量为， 所以，不妨令，解得， 即取平面的法向量为， 所以点D到平面的距离为. 故选：D. 8. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 展开式中各二项式系数之和是 C. 展开式中第三项二项式系数最大 D. 展开式中的常数项是20 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二项式展开式的定理，及二项式系数性质，来判断各选项即可. 【详解】的展开式是， 其展开式共有7项，故A正确； 展开式中各二项式系数之和是，故B正确； 根据二项式系数的对称性和单调性可知：最大，即展开式的第四项的二项式系数最大，故C错误； 展开式的常数项是，故D错误； 故选：AB. 10. 已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用面面垂直的向量结论可解；对于B，根据线面平行的向量表示可解；对于C，判定是否不共面可解；对于D,运用投影向量的模长公式计算. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以或，故B错误； 对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线， 所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确； 对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（ ） A. 飞船向径的取值范围是 B. 飞船在左半椭圆弧运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D. 飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断选项A；根据面积守恒规律可判断选项B；根据离心率与椭圆的形状关系可判断选项C；根据面积守恒规律可判断选项D. 【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从二项分布，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】借助二项分布方差公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则的值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用抛物线的焦半径公式，即可求得结果. 【详解】由题意得，，解得： 故答案为：9 14. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有_____种. 【答案】64 【解析】 【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解. 【详解】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故答案为：64. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求直线的方程； （2）若以点为圆心的圆恰好与直线相切，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由倾斜角确定斜率，再应用点斜式写出直线方程； （2）应用点线距离公式及直线与圆相切确定半径，结合圆心坐标写出圆的方程. 【小问1详解】 由题设，直线过点， 则直线为，整理得； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，又直线与圆相切， ，故圆的标准方程为. 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的递增区间； （2）分析函数在上的单调性，求出其最大值和最小值，即可得出该函数在上的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，且，则， 则， 由，得， 所以，函数的递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 所以，函数在上单调递增， 所以，， ， 因此，当时，函数的值域为. 17. 已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用焦点到渐近线的距离和焦距以及即可求解； （2）设双曲线的左焦点为，根据双曲线定义将转化为，即可得出当，，三点共线时取得最小值，进而求解即可. 【小问1详解】 双曲线焦距为， 半焦距，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 一条渐近线方程为，即， ，得， ， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义可知，， ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故的最小值为. 18. 为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查. 分数 人数 10 15 45 20 10 （1）求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）； （2）假设分数Z近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数(结果四舍五入)； （3）学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望. （参考数据：若随机变量，则） 【答案】（1） （2）2730人 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出平均数; （2）由题意可得分数Z近似服从正态分布，然后根据正态分布的性质可求出分数在内的概率，从而可求出人数； （3）由题意得随机变量X的所有可能取值为求出各自对应的概率，从而可求得X的分布列与数学期望. 【小问1详解】 样本的平均数. 【小问2详解】 分数Z近似服从正态分布， 即， 可得， 所以， 所以分数在内的学生数约为（人）. 【小问3详解】 随机变量X的所有可能取值为 ， ， 所以X的分布列为 X 10 15 20 P ， 因此X的数学期望为17.5分. 19. 如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. （1）证明：平面； （2）若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面OBP、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：由题知，平面，， 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，，， ，，平面，平面. 【小问2详解】 由题知，， 由（1）可知，为平面的一个法向量，，， 设平面的法向量为，则，， 令，得， 则， 二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$