4.4一元一次不等式及其解法（教学课件）数学新教材北京版七年级下册

一元一次不等式 4.4一元一次不等式及其解法 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 北京版（2024）数学 七年级下册 学习目标 1 2 理解不等式的解集 理解不等式的意义． 0 复习回顾 0 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数为1的整式方程。这种方程的标准形式为 ax+b=0，其中 a和 b 是已知数，且a≠0. 一元一次方程的特征： 只含有一个未知数；‌未知数的最高次数为1；；等式两边都是整式‌。 01 03 02 目录 1新知探究 2 新知应用 学习过程 3 当堂练习 新知探究 探究1 1 一元一次不等式的概念 观察下列不等式: x-2＜5,x＋5≥4,y-1＜1 ,6x＞5x-1, 这些不等式有哪些共同特点? 1.只含有一个未知数 2未知数的次数是1 3.不等号两边都是整式 4.未知数的系数不等于0 新知探究 1 梳理归纳 　　 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫作一元一次不等式. 一元一次不等式的概念： 求不等式的解集的过程，叫作解不等式。 新知应用 1 1.下列式子中是一元一次不等式的有(　　) (1)x2＋1＞2x；(2) ； (3)x＞y； (4) . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析： (1)中未知数的最高次数是2，故不是一元一次不 等式；(2)中左边不是整式，故不是一元一次不 等式；(3)中有两个未知数，故不是一元一次不 等式；(4)是一元一次不等式． A 新知探究 1 梳理归纳 　　 判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤： 先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0. 当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一元一次不等式． 新知探究 探究2 1 解一元一次不等式 解方程： 2+5x=12 解：移项，得 5x=12-2 合并同类项，得 5x=10 系数化为1，得 x=2 移项时要记得变号 化归思想 新知探究 探究2 1 解一元一次不等式 解方程： 2+5x=12 解：移项，得 5x=12-2 合并同类项，得 5x=10 系数化为1，得 x=2 解不等式： 2+5x≥12 解：移项，得 5x≥12-2 合并同类项，得 5x≥10 系数化为1，得 x≥2 与解方程一样，移项要变号 可以发现，解一元一次不等式与解一元一次方程类似，也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向 . 新知探究 1 梳理归纳 　　 解一元一次不等式的步骤： （1）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项)成ax>b(或ax<b等)的形式； （2）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.不等式的两边同除以未知数的系数时，要考查系数α的正负．当a>0时，不等号的方向不变；当α<0时，不等号的方向改变. 新知探究 1 探究2 解一元一次不等式 思 考 解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方. 新知应用 1 1.解不等式3x+12>40-x，并在数轴上表示出它的解集. 解：移项，得 3x+x＞40-12 将同类项放在一起 合并同类项，得 4x ＞28 系数化为1，得 x ＞7 根据不等式基本性质 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. 0 7 新知应用 1 2.解不等式≥，并在数轴上表示出它的解集. 解：不等式两边同乘16，得： 2x-5≥8(4x+3)+16 去括号，得： 2x-5≥32x+24+16 移项、合并同类项，得： -30x≥45 两边同除以x的系数-30，得： x≤- 新知应用 1 3.解不等式≥，并在数轴上表示出它的解集. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. -1 0 1 2 3 -2 - 注：解集x≤-中包含-，所以在数轴上将表示-的点画成实心圆点. 典例解析 2 例 2 解不等式 > ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解：去分母，得： 3（x-1）＞4（2x-1） 去括号，得： 3x - 3 > 8x - 4． 移项，得 3x - 8x > 3 - 4． 合并同类项，得： - 5x > - 1． 系数化为 1，得 x＜ 一元一次方程的解只有一个，而一元一次不等式的解有无数多个 . 典例解析 2 这个不等式的解集在数轴上表示出来，如图 1 2 3 4 5 0 注：解集x＜中不包含，所以在数轴上将表示的点画成空心圆点. 典例解析 2 例3 例3 当x取何值时，代数式 解： 根据题意，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为 1,得 2-x< 3(3x-1). 2-x< 9x-3. -x- 9x< - 3- 2. - 10x<- 5 . x＞ 所以当x取大于的值时，代数式 典例解析 2 例4 为落实生态文明建设，推动绿色发展， 促进人与自然和谐共生， 某公司计划购买 10台节能设备 . 现有A,B两种型号的节能设备，其 中A型设备 15 万元 /台，B 型设备 12万元 /台 .经测算， 购买节能设备的专项资金不能超过140万元，求该公司最多能选购多少台 A型设备. 典例解析 2 分析： 如果设A型设备选购x台， 那 么B型设备能选购( 10-x) 台 . 需用资金=单价× 台数 . 请把下表中的空白处填写完整. 单价 /万元 台数 / 台 需用资金/ 万元 A型 设备 B型 设备 15 12 x 10-x 典例解析 2 解： 设该公司能选购x台A型设备， 那么能选购(10-x) 台B型设备.根据题意， 得 15x+12(10-x)<140. 解这个不等式，得 x≤6 由于节能设备是按台计算的，所以符合题意的解只能取整数6. 答： 该公司最多能选购6台 A型设备. 典例解析 2 解：由方程的解的定义，把x=3代入ax+12=0中， 得 a=－4. 把a=－4代入（a+2）x＞－6中， 得－2x＞－6， 解得x＜3. 在数轴上表示如图： 其中正整数解有1和2. 已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式 （a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其 中正整数解有哪些？ -1 0 1 2 3 4 5 6 典例解析 2 求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然． 方法总结 典例解析 2 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m. 方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想． 解：因为 x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8， 因为其解集为x＜3， 所以 . 解得 m=－1. 课堂练习 3 1. 解下列不等式： （1） -5x ≤10 ； （2）4x-3 < 10x+7 . 2. 解下列不等式： （1） 3x -1 > 2(2-5x) ； （2） . x ≥ -2 x > x > x≤ 课堂练习 3 3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 4x-3 < 2x+7 ； （2） . 解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为： (2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为： -1 0 1 2 3 4 5 6 0 -11 课堂练习 3 4. a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集． 所以，m+n=9. 解：因为a≥1的最小正整数解是m,所以m=1. 因为b≤8的最大正整数解是n,所以n=8. 把m+n=9代入不等式(m+n)x＞18中， 得 9x＞18， 解得x＞2. 课堂练习 3 解： 解得 x ≤ 6. x≤6在数轴上表示如图所示. -1 0 1 2 3 4 5 6 根据题意，得 x +2≥ 0, 所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0. 由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6. 5. 当x取什么值时，代数式 x +2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数. 课堂小结 解一元一次不等式 （1）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项)成ax>b(或ax<b等)的形式； （2）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.不等式的两边同除以未知数的系数时，要考查系数α的正负．当a>0时，不等号的方向不变；当α<0时，不等号的方向改变. 北京版（2024）数学 七年级下册 感谢聆听 $$