第五章 方式与分式方程（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版）

第五章 方式与分式方程（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，，中，分母都不含字母，都不是分式； 中，分母含字母，是分式； 故选：C． 2．计算的结果等于（　） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 3．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 4．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，理解增根的概念，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法得到分式方程的解，再根据增根的概念“使分式方程分母为0的未知数的值”得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 等式左边同分母分式相减得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程有增根，即， ∴， ∴， 解得，， 故选：B ． 5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 6．下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 7．若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查分式值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为零且分母不为零）进行计算求解． 【详解】解：若分式的值为0 ∴且， 即，且或， ∴， 故选：B． 8．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 9．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． 10．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若分式无意义，则的取值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶， 解得：． 故答案为： 12．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶的时间为，然后再根据平均速度的计算方法表示出火车的平均速度． 【详解】一辆汽车行驶了，则它的平均速度为，一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为， 故答案为：， 13．若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 14．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 15．若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组整数解问题及分式方程整数解，根据不等式组有且只有两个奇数解求出一个的取值范围，再根据分式方程有整数解求出的值，最后求和即可得到答案 【详解】解：解不等式组得， ， ∵不等式组有且只有两个奇数解， ∴，即， 解分式方程得， ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴是3的整数倍，且， ∵， ∴或2， ∴所有满足条件的整数的值之积为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，多项式除以单项式，然后计算加减即可； （2）首先将括号内通分，然后计算加减，然后将除法转化成乘法计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 17．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）先去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以原方程的解为． 18．先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 21．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了足球俱乐部1小时活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 【答案】(1)去年品牌足球品牌足球的单价分别为48元和60元 (2)至少要购进品牌足球33个 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设去年品牌足球的单价为元，根据购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，列出方程，解方程即可； （2）设今年购进品牌足球个，则购进B品牌足球个，根据今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则B品牌足球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：去年品牌足球品牌足球的单价分别为48元和60元． （2）解：设今年购进品牌足球个，则购进B品牌足球个，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为33． 答：至少要购进品牌足球33个． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 【答案】(1)， (2)当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． (3)2 【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大， ∵， ∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． （3）∵， 当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0， ∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2， 故答案为：2． 23．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 方式与分式方程（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（　） A．3 B．x C． D． 3．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 4．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 8．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若分式无意义，则的取值为 ． 12．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 13．若（，为有理数），那么 ， ． 14．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 15．若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之积为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1) (2) 17．解分式方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．已知、是实数，且，求的值． 20．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 21．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了足球俱乐部1小时活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 23．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． / 学科网（北京）股份有限公司 $$