第四章 因式分解（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版）

第四章 因式分解（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，深刻理解公因式的概念是解题的关键：（1）定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；（2）公因式必须是每一项中都含有的因式；（3）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；（4）某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；（5）确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；（6）方法点睛：系数：当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；字母：取各项中的相同字母（或多项式）；指数：各相同项字母（或多项式）的指数取最低次数． 根据公因式的概念及确定公因式的方法进行解答即可． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：． 2．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，根据即可求解． 【详解】解：， ， 解得或， 故选D． 3．下列因式分解， 正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 4．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 5．若，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘多项式，计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 6．下列等式从左到右变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解． 【详解】A、不是因式分解，故该选项错误； B、是因式分解，故该选项正确； C、不是因式分解，，故该选项错误； D、不是因式分解，故该选项错误； 故选：B． 7．可以被和之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．解题的关键是熟练运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， ∴这两个数是和． 故选：A． 8．若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 9．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 10．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是 ．（填一种即可） 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 当括号内的单项式为时， ∴． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 14．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，由化为，代入计算可求解即可，掌握知识点的应用及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．（）计算：； （）因式分解：． 【答案】（）；（） 【分析】（）利用平方差公式和完全平方公式化简运算即可； （）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 17．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．已知，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意可知，根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ． 故答案为：． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” (1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【答案】(1)28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】此题考查的知识点是因式分解的应用，主要是平方差公式的灵活应用． （1）试着把36、2022写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数； （2）化简两个连续偶数为和的平方差，再判断； （3）设两个连续奇数为和，则，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数． 【详解】（1）28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由如下： ． 又，但505、507不是连续的偶数， 28是“神秘数”，2024不是“神秘数”． （2）是，理由如下： ， 由和构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍． （3）不是，理由如下： 设两个连续奇数为和， 则， 即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件． 两个连续奇数的平方差不是神秘数． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 【答案】(1)；；3； (2)或 【分析】(1) 首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）根据前面计算方式，列式解答即可． 本题考查了因式分解的新方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，根据， 故． 故答案为：；；3；． （2）解：∵，把二次项系数1写成，，满足，或 故m的值为：或． 23．综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，数形结合是解决问题的关键． （1）根据图1中大正方形面积的两种求法即可得到结论； （2）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等，表示出面积列等式问题可解； （3）由（2）中得到的结论得到，代入已知条件计算即可； （4）数形结合得到所拼成的长方形或正方形的面积为：，从因式分解的角度看，可分解为或，展开计算即可得的值． 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ， 的值为； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 或7． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 3．下列因式分解， 正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值是(   ) A． B． C． D． 6．下列等式从左到右变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．可以被和之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 10．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．因式分解： ． 12．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是 ．（填一种即可） 13．计算： ． 14．若实数满足，则 ． 15．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．（）计算：； （）因式分解：． 17．简便计算： (1)； (2) 18．已知，，，求． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” (1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 23．综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$