精品解析：广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

2024学年第一学期期末教学质量监测 高二数学（试题） 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】对圆，圆心，半径. 圆：，圆心，半径. 圆心距：. 因为，所以两圆相交. 故选：B 2. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. C. 椭圆的离心率 D. 的面积的最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程、计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项． 【详解】如图： 根据椭圆的标准方程：，得，，所以. 所以：椭圆的焦距为：，故A错； 根据椭圆的定义：，故B错； 椭圆的离心率：，故C正确； 当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错. 故选：C 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，用基底表示空间向量即可. 【详解】因为：. 故选：D 4. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设柜子里的3双不同的鞋为：，，. 从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，.共15种. 其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种. 所以“取出的鞋不成双”的概率为：. 故选：D 5. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【详解】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 7. 在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 8. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理依次判断即可. 【详解】对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故A正确； 对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为， ,所以， 所以,但是与都不垂直，所以与面不垂直，故B错误； 对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故C正确； 对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则， , 则,, 因为，所以， 因为,所以， 所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故D正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了空间几何体的线面垂直判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面垂直的判定定理是关键. 10. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A和事件B相互独立 D. 事件B和事件C相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题分别找出，的值，根据事件独立性的判断即可求得C、D选项； 再由并事件的计算公式求得A、B选项. 【详解】由题，， 故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确. 对于A选项，，故选项A错误； 对于B选项，,故选项B正确； 故选：BCD. 11. 我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（ ） A. 若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为 B. 若是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为 C. 若，则 D. 若取得最小值，则为“果圆”的顶点 【答案】BC 【解析】 【分析】确定两个半椭圆的方程，分别求出它们的离心率，可判断A的真假；确定的值，得到两个半椭圆的方程，可判断B的真假；根据的关系求的取值范围，判断C的真假；通过特殊情况可判断D的真假. 【详解】对A：根据半椭圆的方程，可得：，，所以，该半椭圆的离心率为：； 另外的半椭圆方程为：，其离心率为：. 所以两个半椭圆离心率的乘积为：，故A错误； 对B：因为，，，且是边长为1的等边三角形， 所以，， 所以. 所以半椭圆的方程分别为：和，故B正确； 对C：因为且，所以. 因为，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，，所以. 若点半椭圆上， 则. 若，即时，在时取最小值，此时点不是“果圆”的顶点，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对“果圆”概念的理解，弄清楚“果圆”相关的顶点，焦点的坐标是解决问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，方向向量为的直线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为：. 又直线过点，所以直线方程为：，即. 故答案为： 13. 某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m. 【答案】3 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令，求出的值即可. 【详解】如图：建立平面直角坐标系. 设过点的圆的方程为：. 因为点，在圆上， 所以，解得. 所以圆的方程为：. 令得：. 又，所以. 故答案为：3 14. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知，分别为双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，过点作，垂足为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】延长，交直线与点，根据题意可得，结合双曲线的定义，可求，在根据三角形中位线的性质，可求的长度. 【详解】如图： 根据双曲线的标准方程：，得：，，. 延长，交直线于点，由题意：平分，又， 所以，且为中点. 所以. 又为中点，为中点， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：结合已知双曲线的光学性质，得到垂直平分线段，利用三角形中位线的性质得到是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. （1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； （2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论? 【答案】（1）样本空间见解析； （2）第二次，第三次摸到红球的概率均为；结论：抽签的概率与抽签顺序无关. 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式求解. 【小问1详解】 设三个红球记为：，，，一个黄球记为：. 从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个基本事件. 第一次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个. 所以第一次摸到红球的概率为：. 【小问2详解】 第二次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18个. 所以第二次摸到红球的概率为：. 第三次摸到红球基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个. 所以第三次摸到红球的概率为：. 结论：抽签的概率与抽签顺序无关. 16. 已知直线：与以C为圆心的圆交于A、B两点. （1）当时，求弦长； （2）当面积为时，求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线距离，再根据弦长公式计算即可； （2）当面积为时先求出或计算求参即可得直线，求得AB坐标后利用待定系数法即可求解. 【小问1详解】 当时，直线：，以圆心半径为2，圆， 所以圆心到直线距离为， 所以弦长. 【小问2详解】 设圆心到直线距离为，则弦长为， 当面积为时，或， 所以或，解得， 所以， 联立，解得． 不妨设， 设外接圆的方程为， 将三点的坐标代入所设圆的方程， 得：，解得， 所以外接圆的方程为． 17. 如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值； （3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据可得E，F，G，H四点共面. （2）通过面面垂直证明线面垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线所成角的余弦值. （3）通过分析得为二面角的平面角，利用余弦定理可得结果. 小问1详解】 如图，连接. ∵E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴，∴， ∴E，F，G，H四点共面. 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，， ∴，为等边三角形，. 设菱形的边长为2，则. ∵二面角为直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ∴，故， ∴异面直线，所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设菱形的边长为2，则. 如图，连接. ∵为等边三角形，∴， ∵异面直线，的所成角为，∴， ∵平面，，∴平面， ∵平面，∴，∴. ∵，平面，平面，平面平面， ∴为二面角的平面角. ∵， ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，已知平行四边形存在内切圆. （i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程； （ii）求平行四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）该内切圆是定圆，其方程为：. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定，可得椭圆方程. （2）（i）分析平行四边形的形状，求内切圆的方程即可. （ii）表示出平行四边形的面积，借助二次函数的性质求范围，注意分情况讨论. 【小问1详解】 易知，即，又点在椭圆上， 所以. 所以椭圆标准方程为：. 【小问2详解】 （i）如图： 因为点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，所以点也在椭圆上. 又存在内切圆，所以圆心必为，设圆的半径为. 所以点到直线，，，的距离相等，均为， 又，，，的面积相等， 所以，故为菱形. 所以. 当直线存在斜率，且斜率不为0时，设直线：， 由，不妨取. 用代替，可得. 由， 即. 当直线斜率为0时，可取,，则，所以. 当直线不存在斜率时，类似可得：. 所以该内切圆为定圆，其方程为：. （ii）当直线斜率为0或不存在时，. 当直线斜率存在且不为0时， 令（），则 ， 因为，所以，所以 所以. 综上可知： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值问题，常用的方法有： （1）转化成二次函数的值域问题求范围； （2）利用基本（均值）不等式求最值； （3）利用三角换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值. 19. 如图，边长为1的正方体中，M为底面上一动点，且满足，过点M作垂直于，垂直于，直线与直线交于点P. （1）若以D为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程. （2）以为直径作圆，以圆为底面，为高作圆柱，是否存在一个与平面平行的平面，该平面与圆柱相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面的位置，并求截面的面积；若不存在，说明理由. 【答案】（1）点轨迹方程为，且 （2）存在平面，过点作一个与平面平行的平面，与圆柱相交，所得截面为矩形，底边长为，高为1，面积为定值. 【解析】 【分析】（1）设由，得点点满足，直线与直线交于点， 存在，设点则有，代入即可得点轨迹方程； （2）涉及圆柱的截面性质，先确定圆柱底面半径和高，然后假设存在满足条件的平面，由平面平行的性质定理和截面面积的 计算方法来判断是否存在这个平面即可. 【小问1详解】 以题设建立平面直角坐标系，并补充过原点D向上方向为z轴. 设且，因为，所以， 由,则，即， 因为，，故，， 设，由在上，所以， 又因为在上，所以， 故，有因为点满足， 将代入有， 故点轨迹方程为，且； 【小问2详解】 先判断在平面ABCD内是否存在与平行的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值， 假设满足条件的直线存在，其方程为，设，，的中点为， 点的坐标为.与为直径的圆相交于点，，的中点为，则， ， 因为， 所以， 所以. 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 所以过点作一个与平面平行的平面，与圆柱相交，所得截面为矩形，底边长为，高为1，面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末教学质量监测 高二数学（试题） 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 2. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. C. 椭圆的离心率 D. 的面积的最大值是 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A B. C. D. 7. 在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ） A. B. C. D. 10. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A和事件B相互独立 D. 事件B和事件C相互独立 11. 我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（ ） A. 若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为 B. 若是边长为1等边三角形，则“果圆”部分方程为 C. 若，则 D. 若取得最小值，则为“果圆”的顶点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，方向向量为的直线方程是______. 13. 某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m. 14. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知，分别为双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，过点作，垂足为，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. （1）写出这个试验样本空间并求第一次摸到红球的概率； （2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论? 16. 已知直线：与以C为圆心的圆交于A、B两点. （1）当时，求弦长； （2）当面积为时，求的外接圆的方程. 17. 如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值； （3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆标准方程； （2）点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，已知平行四边形存在内切圆. （i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程； （ii）求平行四边形的面积的取值范围. 19. 如图，边长为1正方体中，M为底面上一动点，且满足，过点M作垂直于，垂直于，直线与直线交于点P. （1）若以D为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程. （2）以为直径作圆，以圆为底面，为高作圆柱，是否存在一个与平面平行的平面，该平面与圆柱相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面的位置，并求截面的面积；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $