专题15与圆有关的位置关系（3大模块知识梳理+9个考点+5个重难点+1个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题15 与圆有关的位置关系 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：与圆有关的位置关系 知识模块二：与切线有关的知识 知识模块三：三角形的外接圆与内切圆 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点） 考点一： 点与圆的位置关系 考点二： 直线与圆的位置关系 考点三： 圆与圆的位置关系 考点四： 利用切线的性质求解 考点五： 切线的性质与判定综合 考点六： 应用切线长定理求解或证明 考点七：由三角形外接圆求值 考点八： 由三角形内切圆求值 考点九： 三角形外接圆与内切圆综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点） 重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点） 重难点三： 直线与圆的最值问题 重难点四：胡不归问题 重难点五：阿氏圆问题 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点） 易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解 知识模块一：与圆有关的位置关系 知识点一：点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点二：直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 知识点三：圆与圆的位置关系 设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 知识模块二：与切线有关的知识 知识点一：切线的性质定理与判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 知识点二：切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 知识模块三：三角形的外接圆与内切圆 知识点一：三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点二：三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 考点一： 点与圆的位置关系 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 考点二： 直线与圆的位置关系 1．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 3．（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 4．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由． 考点三： 圆与圆的位置关系 1．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（　　） A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 考点四： 利用切线的性质求解 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 2．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 考点五： 切线的性质与判定综合 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 2．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 考点六： 应用切线长定理求解或证明 1．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，射线，，．与相切时，连接，求的长． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 考点七： 由三角形外接圆求值 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 3．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 考点八： 由三角形内切圆求值 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    3．【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（    ） A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点 考点九： 三角形外接圆与内切圆综合 1．（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点） 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点） 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，求的半径． (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 重难点三： 直线与圆的最值问题 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 3．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    重难点四： 胡不归问题 1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    重难点五： 阿氏圆问题 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 2．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．   3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解 1．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 与圆有关的位置关系 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：与圆有关的位置关系 知识模块二：与切线有关的知识 知识模块三：三角形的外接圆与内切圆 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点） 考点一： 点与圆的位置关系 考点二： 直线与圆的位置关系 考点三： 圆与圆的位置关系 考点四： 利用切线的性质求解 考点五： 切线的性质与判定综合 考点六： 应用切线长定理求解或证明 考点七：由三角形外接圆求值 考点八： 由三角形内切圆求值 考点九： 三角形外接圆与内切圆综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点） 重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点） 重难点三： 直线与圆的最值问题 重难点四：胡不归问题 重难点五：阿氏圆问题 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点） 易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解 知识模块一：与圆有关的位置关系 知识点一：点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点二：直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 知识点三：圆与圆的位置关系 设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 知识模块二：与切线有关的知识 知识点一：切线的性质定理与判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 知识点二：切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 知识模块三：三角形的外接圆与内切圆 知识点一：三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点二：三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 考点一： 点与圆的位置关系 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 2．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 考点二： 直线与圆的位置关系 1．（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系． 【详解】解：∵中，， ， ∴cosA= ∵， ∴AC=4 ∴BC= 当时，与的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键． 2．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 3．（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 4．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由． 【答案】（1）3；（2）直线与圆相交， 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长． 【详解】解：（1）∵y＝x＋9可变形为x－y＋9＝0，则其中A＝，B＝－1，C＝9， 由公式可得 ∴点M到直线y＝x＋9的距离为3， （2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4， ∵d＜r ∴直线与圆相交， 则弦长， 【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推理和计算． 考点三： 圆与圆的位置关系 1．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（　　） A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米 【答案】C 【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可． 【详解】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，    ∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2， ∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米， ∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°， ∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°， ∴花坛的周长为2×＝8π（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键． 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可． 【详解】如图，连接，， ∵等圆和相交于A，B两点 ∴, ∵和是等圆 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵,, ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键． 考点四： 利用切线的性质求解 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 2．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 考点五： 切线的性质与判定综合 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①3；②2 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径； ②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，   点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图，连接，   是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为； ②由（1）可知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键． 2．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）根据，即可得证； （3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接    在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； （2）∵是的切线； ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点六： 应用切线长定理求解或证明 1．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB． 【详解】连接OB， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=28°， ∴∠AOB=124°， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP=180°， ∴∠APB+∠AOB=180°； ∴∠APB=56°． 故选：C 【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，射线，，．与相切时，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．连接，，，得到，根据勾股定理求出，根据切线长定理可得，，推出垂直平分，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 是的直径， ， ，     ， 为的切线． 与相切， ，，           垂直平分， ，， ， ， ，                 ，即．             ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 考点七： 由三角形外接圆求值 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键． 2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 3．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 考点八： 由三角形内切圆求值 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于， ，， ， 同理：， ， ， ， ， 故选A 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 3．【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（    ） A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点 【答案】AC 【分析】根据三角形内切圆的性质逐个判断可得出答案． 【详解】A、以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定过点O，说法正确，选项符合题意； B、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意； C、当是等边三角形时，可以证得D、F、E分别是边的中点，根据中位线概念可得，选项符合题意； D、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意； 故选：AC． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的特点和性质，解题的关键是能与其它知识联系起来，加以证明选项的正确． 考点九： 三角形外接圆与内切圆综合 1．（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，为直角三角形的中线，即可求解； （2）和的外接圆面积之比为3，确定，即，得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、， 是直径，则， 是切线， ， ， ，即是圆的切线， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：和的外接圆面积之比为3，， 则两个三角形的外接圆的直径分别为、， ， ∵， ∴， ， ∵，是直径， ∴， ， ∴， ， ，是直角三角形的中线， ， 为等边三角形， 的面积：， 则，， ，，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的外接圆面积， ∵等边三角形边长为2， ∴其内切圆的半径为：，面积为， 故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过和的外接圆面积之比为3，确定，进而求解． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证： ，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 重难点一： 证明某直线是圆的切线（有明确的交点） 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． 重难点二： 证明某直线是圆的切线（无明确的交点） 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，求的半径． (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又 ， 与相切． （2）解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ， ， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． （3）方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又 ， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又 ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 重难点三： 直线与圆的最值问题 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案． 【详解】 解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 重难点四： 胡不归问题 1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 重难点五： 阿氏圆问题 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理求出B点坐标，根据勾股定理得出P点，根据全等或相似求出C点； （2）只需证明，即，故证明，进而求得； （3）在上截取，进而证明，得出，进而根据三角形三边关系找出M点使其最小． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：如图2， 由得：， ∴ 在上截取， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、M．I共线时，最小值为， 即最小值为， ∵， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质及与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是 构造相似三角形． 2．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接， 矩形中，，， ，， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 当、、共线时，取最小值，最小值为， ， 故选:B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 易错点1： 讨论与圆有关位置关系时漏解 1．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴ 当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$