专题14圆的概念及性质（2大模块知识梳理+8个考点+3个重难点+2个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题14 圆的概念及性质 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理） 知识模块一：圆的相关概念 知识模块二：圆的相关性质 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点） 考点一： 利用垂径定理求解 考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解 考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标 考点四： 垂径定理的实际应用 考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解 考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明 考点七：利用圆周角定理求解 考点八： 利用圆内接四边形性质求角度 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点） 重难点一： 弧中点模型 重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距 重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解 易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解 知识模块一：圆的相关概念 知识点一： 圆的定义 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可. 知识点二： 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 知识点三： 弧，半圆，优弧，劣弧，等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点四： 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 知识点五：圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 知识点六：弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”. 知识模块二：圆的相关性质 知识点一：圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 知识点二：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点三：弧，弦，圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知识点四：圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 知识点五：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 考点一： 利用垂径定理求解 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 3．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：法一：过O作于F， ∴， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 法二：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 2．（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．    (1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于F，于G，先由角平分线性质得，再证明，得，证明，得，从而得出，再根据平行线性质与角平分线定义证明，得，从而得，即可得出结论； （2）连接，过点A作于H，作于G，证明，得，证明，得，证明，得，从而得，根据平行线等分线段定理即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 过点A作于F，于G，如图1，    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴，   ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，   ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线性质，菱形的判定，全等三解形的判定与性质，垂直定理，平行线等分线段定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 3．（2023·贵州·中考真题）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．    (1)写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； (2)求证：； (3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)、、、；； (2)证明见详解； (3)四边形是菱形； 【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案； （2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明； （3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明； 【详解】（1）解：∵是等边三角形的外接圆， ∴是的角平分线，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的角有：、、、， ∵是的角平分线， ∴，， 在与中， ∵， ∴， 故答案为：、、、，； （2）证明：∵，， ∴； （3）解：连接，， ∵，， ∴ ，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系． 考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标 1．（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 中，直线 与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长． 【答案】 【分析】过O作于C，根据垂径定理可得，可求，，由勾股定理，可证，由相似三角形性质可求即可． 【详解】解：过O作于C，如图， ∵为弦， ∴， ∵直线与相交于A，B两点， ∴当时，，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 在中，由勾股定理， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键． 2．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标． 【详解】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点， 则轴， 为直径，则， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于， ∴， ∵， ∴， ∵D的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P， ∴， ∴， ∴Q在M上， ∴当Q与重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 考点四： 垂径定理的实际应用 1．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 题意可得， ∵过圆心，且， ∴， 设该桨轮船轮子的半径为，则，， ∵在中，， 即， 解得， ∴该桨轮船轮子半径为. 故选：C． 3．（2024·河北廊坊·二模）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸(鱼缸内无水)，使玻璃棒底端恰在的中点处，发现，将玻璃棒竖立起来时，测得． (1)求的度数，并求的长； (2)求的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、弧长公式、垂径定理、勾股定理、三角函数．充分利用已知条件是解题的关键． （1）连接，证明为等边三角形，再用三角函数求解即可． （2）根据已知条件求出所对应的角度与所在圆的半径，再代入弧长公式即可． （3）求水深时，要考虑到圆心与水面位置的不同情况进行分类讨论． 【详解】（1）连接， 点为的中点， ， ， 又 ， 为等边三角形， ． ， ， ． （2） 如图(1) ，设点O为所在圆的圆心，则点O在上，连接，则， ． ， ， ， 的长为． （3）解：设水面为，交与点，则垂直平分， ． 连接，则， ． 如图(2) ，当点O在上方时，水深为， 如图(3) ，当点O在下方时，水深为， 当鱼缸内水面的宽度为时，水的深度或． 考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解 1．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数） 【答案】0.1 【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵C是弦的中点，D在上，， ∴延长可得O在上， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键． 2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明 1．（2023·江苏·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．    【答案】 【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图：    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：连接、， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴ 3．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论； （2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论； （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点B平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点B平分， ∴，则， ∴． ∵平分， ∴，则， 设，，则，， ∴ ∴，则， ∴． ∵ ， ∴． （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则． ∴． ∵点平分， ∴，则， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 考点七： 利用圆周角定理及推论求解 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 考点八： 利用圆内接四边形性质求角度 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 重难点一： 弧中点模型 1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可. 【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E， ∵C是弧AB的中点，AB=6， ∴OC⊥AB，AE=BE=3， ∵∠ADC=30°， ∴∠AOC=2∠ADC=60°， 又∵OA=OC， ∴△OAC是等边三角形， ∵OC⊥AB, ∴，, ∴ ∴ ∴圆心O到弦AB的距离为， 故选C. 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接． （1）求证：直线是⊙O切线． （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）连接OF，因为点是弧的中点，所以可得，因为，所以，所以，所以，所以，即可得出直线是⊙O切线； （2）由（1）得，所以，所以，可求出，在，根据勾股定理可得出，再根据，即，可得，在中，可求出. 【详解】解：如图，连接OF， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ， 直线是⊙O切线. （2）， ； 由（1）得， ， ; 在中，， ， ， 可得：，解得：， 在中，可得： 即：. 【点睛】本题考查与圆有关的证明，熟练掌握与圆有关的定理是做题关键，比如本题中看到弧相等，就要转化成相应的圆周角或者圆心角相等；当题目中出现平行线，并且求线段长度，可考虑利用相似三角形的性质进行求解，结合勾股定理，注意计算不要出错. 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，若，D是弧的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，如图所示，连接，证明，得到是等边三角形，进而推出，再由垂径定理得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， ∴ ， 故选：B． 重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距 1．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 2．（2023·宁夏·中考真题）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，证明，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出即可； （2）连接，过点O作于F，证明，根据正切的定义列式求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵直线是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：连接，过点O作于F，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形以及勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 2．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】120 【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 3．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证； （2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解． 【详解】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线； （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即同理在中，可得， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（经检验，符合题意）， 即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键． 易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于 °． 【答案】120°或60° 【分析】根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=求出∠BOE=60°，即可求出答案. 【详解】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF， ∴OB=AB，OC=AC， ∵OB=OC， ∴四边形OBAC是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE， ∵OB=OA，OE=, ∴cos∠BOE=， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， ∴∠BFC=∠BOC=60°， ∴ 弦所对的圆周角为120°或60°， 故答案为：120°或60°. 【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 2．（2023·湖北襄阳·模拟预测）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于 ． 【答案】或 【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵，，    ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角度数等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角． 易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解 1．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 2．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆的概念及性质 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理） 知识模块一：圆的相关概念 知识模块二：圆的相关性质 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点） 考点一： 利用垂径定理求解 考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解 考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标 考点四： 垂径定理的实际应用 考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解 考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明 考点七：利用圆周角定理求解 考点八： 利用圆内接四边形性质求角度 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点） 重难点一： 弧中点模型 重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距 重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解 易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解 知识模块一：圆的相关概念 知识点一： 圆的定义 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可. 知识点二： 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 知识点三： 弧，半圆，优弧，劣弧，等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点四： 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 知识点五：圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 知识点六：弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”. 知识模块二：圆的相关性质 知识点一：圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 知识点二：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点三：弧，弦，圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知识点四：圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 知识点五：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 考点一： 利用垂径定理求解 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 3．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二： 利用垂径定理结合全等，相似综合求解 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 2．（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．    (1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：． 3．（2023·贵州·中考真题）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．    (1)写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； (2)求证：； (3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 考点三： 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标 1．（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 中，直线 与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长． 2．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ． 3．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 考点四： 垂径定理的实际应用 1．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北廊坊·二模）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸(鱼缸内无水)，使玻璃棒底端恰在的中点处，发现，将玻璃棒竖立起来时，测得． (1)求的度数，并求的长； (2)求的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 考点五： 利用弧，弦，圆心角的关系求解 1．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数） 2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 考点六： 利用弧，弦，圆心角的关系证明 1．（2023·江苏·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．    2．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 3．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 考点七： 利用圆周角定理及推论求解 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 考点八： 利用圆内接四边形性质求角度 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 重难点一： 弧中点模型 1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 2．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接． （1）求证：直线是⊙O切线． （2）若，，求的值． 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，是的直径，若，D是弧的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 重难点二： 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距 1．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 2．（2023·宁夏·中考真题）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 重难点三： 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 2．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ． 3．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 易错点1： 对同弦所对的圆周角的个数考虑不全面而漏解 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于 °． 2．（2023·湖北襄阳·模拟预测）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于 ． 易错点2： 对弦的位置考虑不全面而漏解 1．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 2．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$