专题05 诱导公式5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题05 诱导公式5种常考压轴题归类 知识点01 诱导公式 1.诱导公式 公式一： sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等． 公式二： （1）角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． （2）公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三： （1）角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． （2）公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四： （1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． （2）公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 公式五： （1）角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． （2）公式：sin＝cos α，cos＝sin α. 公式六： （1）公式：sin＝cos α，cos＝－sin α. （2）公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. 公式七：sin=-cos：cos=sin 公式八：sin=-cos,：cos=-sin 2.诱导公式的记忆 诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 知识点02 诱导公式的应用策略 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 2.利用诱导公式求值与求解解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． （3）观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 压轴题型一：给角求值 满分技法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 1．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·陕西榆林月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·上海月考）已知，则“ (k∈Z)，是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 压轴题型二：给值求值 满分技法 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4．（2024高一·甘肃平凉·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·山东滨州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024高一·河南南阳月考）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·贵州贵阳月考）已知，则（   ） A．3 B．-3 C． D． 8．（2024高三·安徽合肥月考）若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 9．（2024高三·北京月考）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·湖南岳阳月考）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·福建月考）已知，，则（    ） A．2 B． C． D．3 压轴题型三：利用互补或互余关系求值 满分技法 常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 12．（2024高一·全国月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一·河北月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024高一·山西太原月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（2024高一·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（2024高一·江苏盐城月考）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 17．（2024高一·山东淄博月考）若，且，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：利用诱导公式化简求值 满分技法 利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． 18．（2024高三·海南月考）已知，则（    ） A． B． C． D．2 19．（2024高一·江西新余月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 20．（2024高一·湖北黄冈月考）化简：（    ） A．1 B．0 C． D．2 21．（2024高一·湖北·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一·甘肃定西·期末）已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 23．（2024高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 24．（2024高一·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 压轴题型五：利用诱导公式证明等式 满分技法 三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 25．（2024高一·全国·课前预习）求证：＝． 26．（2024高一·全国月考）证明：，． 27．（2024高二·河南月考）已知角的终边在第三象限，，证明：． 28．（2024高一·全国月考）设.求证：. 一、单选题 1．（2024高一·河南郑州·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·江苏无锡·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024高一·江苏南京·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（河北省张家口市2024-2025学年高一学期期末考试数学试卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（江苏省连云港市2024-2025学年高一学期期末调研考试数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024高一·江苏南通·期末）下列选项中其值等于的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一·江苏盐城月考）在中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024高一·江苏月考）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（   ） A． B． C． D． 11．（河北省张家口市2024-2025学年高一学期期末考试数学试卷）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第四象限 12．（2024高一·湖北荆州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（2024高一·新疆阿克苏月考）若点在函数的图像上，则 ． 14．（2024高三·内蒙古呼和浩特月考）化简： ． 15．（2024高一·天津河西月考） . 16．（2024高一·安徽淮南月考）若是角终边上一点，则的值为 . 17．（2025高三·全国月考）化简： ． 18．（2024高一·福建三明月考）已知，求 . 19．（2024高一·云南昆明月考）已知，则 . 20．（2024高一·云南昆明·期末）已知，且，则 . 21．（2024高一·天津河东月考）已知 ，且， 则 = . 四、解答题 22．（2024高一·山东菏泽月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 23．（2024高一·江苏无锡·期末）已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. 24．（2024高一·湖北恩施·期末）已知. (1)若，求的值； (2)已知的三个内角分别为，且，若，求的值. 25．（2024高一·江苏镇江·期末）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 26．（2024高一·河北廊坊·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 27．（北京市大兴区2024-2025学年高一学期期末检测数学试题）如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． (1)求的值； (2)求的值． 28．（2024高一·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求的值； (2)若，求的值及点的坐标. 29．（2024高一·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. (1)求的值. (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 30．（江苏省徐州市2024-2025学年高一学期期末抽测数学试题）已知角的终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 诱导公式5种常考压轴题归类 知识点01 诱导公式 1.诱导公式 公式一： sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等． 公式二： （1）角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． （2）公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三： （1）角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． （2）公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四： （1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． （2）公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 公式五： （1）角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． （2）公式：sin＝cos α，cos＝sin α. 公式六： （1）公式：sin＝cos α，cos＝－sin α. （2）公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. 公式七：sin=-cos：cos=sin 公式八：sin=-cos,：cos=-sin 2.诱导公式的记忆 诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 知识点02 诱导公式的应用策略 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 2.利用诱导公式求值与求解解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． （3）观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 压轴题型一：给角求值 √满分技法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 1．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式求解即可. 【解析】 故选：C. 2．（2024高一·陕西榆林月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据自变量的范围代入相应的解析式后可得函数值. 【解析】由题意可得. 故选：A. 3．（2024高三·上海月考）已知，则“ (k∈Z)，是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况. 【解析】判断充分性 当时，根据余弦函数的性质，. 所以由能推出，充分性成立. 判断必要性 当时，，满足的不只是，还有情况. 所以由不能推出，必要性不成立. 是的充分非必要条件. 故选：A. 压轴题型二：给值求值 √满分技法 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4．（2024高一·甘肃平凉·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【解析】因为角的终边过点，所以， 所以． 故选：A． 5．（2024高一·山东滨州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，利用诱导公式化简题中所给式子，再应用齐次式的解法计算. 【解析】若，则， . 故选：C. 6．（2024高一·河南南阳月考）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【解析】因为，所以. 因为，所以0，所以，解得或. 因为，所以，，所以，即， 可得，所以. 故选：A. 7．（2024高三·贵州贵阳月考）已知，则（   ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式求出，再根据同角三角函数基本关系化为，即可求解. 【解析】由，得，分式分子分母同除以， 得：，又因为，所以，， 所以. 故选：D 8．（2024高三·安徽合肥月考）若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可. 【解析】根据题意可知，所以， 若 ，则，与矛盾 故，将其上下同时除以，可得， 化简可得，解之得或. 故选：B 9．（2024高三·北京月考）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可. 【解析】 是第二象限角，且， ， ， 故选：D. 10．（2024高三·湖南岳阳月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化， 【解析】由两边同时平方，可得， ，解得. . 故选：C. 11．（2024高三·福建月考）已知，，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用辅助角公式求出，再结合同角关系以及诱导公式即可求解. 【解析】因为，所以，即， 因为，所以， 故，所以， 故选：D 压轴题型三：利用互补或互余关系求值 √满分技法 常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 12．（2024高一·全国月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解. 【解析】因为，，故， 令，则为锐角， 因为，所以，且， 所以 . 故选：C. 13．（2024高一·河北月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式可得，又，进而得到，即可求值. 【解析】由， 由， 而，则， 所以，则，可得， 所以，则. 故选：B 14．（2024高一·山西太原月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先找到题中两个角的关系，然后利用诱导公式化简，最后再利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】由诱导公式，可得． 由，可得， 因为，所以，所以， 则． 故选：C． 15．（2024高一·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式及整体法求目标函数值. 【解析】． 故选：B 16．（2024高一·江苏盐城月考）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值. 【解析】因为， 所以， 故选：A 17．（2024高一·山东淄博月考）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式将转化为，再由同角三角函数关系式求解即可，注意角的范围对函数值正负的影响． 【解析】 因为，所以 ， 故选：A． 压轴题型四：利用诱导公式化简求值 √满分技法 利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． 18．（2024高三·海南月考）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用诱导公式，商数关系求解. 【解析】因为， 所以， 所以原式. 故选：A. 19．（2024高一·江西新余月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简，再代入即可得解. 【解析】因为， 所以. 故选：B. 20．（2024高一·湖北黄冈月考）化简：（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简即可得解. 【解析】 , 因为, 所以原式. 故选：C 21．（2024高一·湖北·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出，再利用诱导公式化简，结合齐次式法计算即得. 【解析】显然点都在直线上，由正切函数定义得， 所以. 故选：B 22．（2024高一·甘肃定西·期末）已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； （2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. 【解析】（1）由，是第二象限角，， 可得，即， 解得或. 因为是第二象限角，所以. （2）. 23．（2024高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式化简，再用同角公式求值即可. 【解析】（1） 即 （2）由，可得． 因为为第三象限角， 因此， 故 24．（2024高一·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【解析】（1）， ， ， . （2）， ， ， ， ， . 压轴题型五：利用诱导公式证明等式 √满分技法 三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 25．（2024高一·全国·课前预习）求证：＝． 【答案】证明见解析 【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【解析】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 26．（2024高一·全国月考）证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【解析】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 27．（2024高二·河南月考）已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】求出，，即得证. 【解析】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 【点睛】易错点睛：本题易求出，根据已知求出为第三或第四象限角，还要根据，得到为第四象限角，从而得到. 28．（2024高一·全国月考）设.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由题意从所求式子的左边出发，把作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边. 【解析】证明：左边 把代入，得原式右边，故原等式成立. 【点睛】本题考查同角三角函数间基本关系、诱导公式的应用和整体代入思想.，属于基础题 一、单选题 1．（2024高一·河南郑州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可求代数式的值. 【解析】原式 ， 故选：A. 2．（2024高一·江苏无锡·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【解析】因为，则 . 故选：A. 3．（2024高一·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由诱导公式可判断的正负，即可判断出答案. 【解析】由于，而， 故点在第三象限， 故选：C 4．（2024高一·江苏南京·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【解析】若，则， 若，则可能等于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（河北省张家口市2024-2025学年高一学期期末考试数学试卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式化简求值即可. 【解析】. 故选：C 6．（江苏省连云港市2024-2025学年高一学期期末调研考试数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断，利用平方关系求出的值，再利用诱导公式化简求解即可. 【解析】因为，所以 又因为，所以， 所以， ， 故选：A. 7．（2024高一·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【解析】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 二、多选题 8．（2024高一·江苏南通·期末）下列选项中其值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助特殊角的三角函数值计算即可得. 【解析】，，， ， 故B、C、D正确；A错误. 故选：BCD. 9．（2024高一·江苏盐城月考）在中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据诱导公式判断各选项即可得解. 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确. 故选：ACD 10．（2024高一·江苏月考）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角函数诱导公式，结合在各象限的正负值判断即可. 【解析】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，因为，故，故D错误. 故选：ABC 11．（河北省张家口市2024-2025学年高一学期期末考试数学试卷）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第四象限 【答案】BD 【分析】根据终边所过的点，结合三角函数的定义及任意角定义、诱导公式判断各项正误. 【解析】由题设，为第二象限角，但不一定是钝角，A错； ，B对； ，C错； 由，则点对应为在第四象限，D对. 故选：BD 12．（2024高一·湖北荆州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件可得，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式逐项判断可确定正确选项. 【解析】因为，所以. ，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（2024高一·新疆阿克苏月考）若点在函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】先根据对数函数的性质得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案. 【解析】∵ 点在函数的图像上， ∴ ， ∴ 故答案为：. 14．（2024高三·内蒙古呼和浩特月考）化简： ． 【答案】1 【分析】利用诱导公式逐项化简可得解 【解析】. 故答案为：1. 15．（2024高一·天津河西月考） . 【答案】 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【解析】 故答案为：. 16．（2024高一·安徽淮南月考）若是角终边上一点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】求出，对原式利用诱导公式进行变形化简可求值. 【解析】因为是角终边上一点， 则点到原点的距离是，所以， 则. 故答案为：. 17．（2025高三·全国月考）化简： ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简得答案. 【解析】. 故答案为： 18．（2024高一·福建三明月考）已知，求 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简已知条件以及所求，从而求得正确答案. 【解析】由得， 故. 故答案为： 19．（2024高一·云南昆明月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】结合角的关系根据诱导公式化简求值即可. 【解析】根据题意，由诱导公式可得， 所以. 故答案为：. 20．（2024高一·云南昆明·期末）已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据平方关系求出，再利用诱导公式求解. 【解析】根据题意，，则， 又，所以 . 故答案为： 21．（2024高一·天津河东月考）已知 ，且， 则 = . 【答案】 【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果. 【解析】∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 四、解答题 22．（2024高一·山东菏泽月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由诱导公式化简可得，再由同角三角函数的商关系，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，化为齐次式的形式，然后代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由得 所以. （2）由（1）知，， 所以. 23．（2024高一·江苏无锡·期末）已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，，利用诱导公式和同角三角函数关系得到； （2）添加分母，齐次化，化弦为切，代入求值即可. 【解析】（1）因为角的终边经过点， 所以，，， 故 ； （2） . 24．（2024高一·湖北恩施·期末）已知. (1)若，求的值； (2)已知的三个内角分别为，且，若，求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. （2）利用诱导公式求得正确答案. 【解析】（1）， 因为，所以， . （2）由（1）得， 因为的三个内角分别为，所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以. 25．（2024高一·江苏镇江·期末）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系和商数关系计算即可求得结果； （2）利用诱导公式以及齐次式化简求值即可. 【解析】（1）易知，即， 又，可得， 因为是第三象限角，所以， 因此 （2）显然， 代入计算可得， 因此. 26．（2024高一·河北廊坊·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式将函数化简，再由诱导公式计算可得； （2）由（1）可得，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为， 所以 . 27．（北京市大兴区2024-2025学年高一学期期末检测数学试题）如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得. （2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果. 【解析】（1）因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为， 由三角函数定义， （2） 28．（2024高一·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求的值； (2)若，求的值及点的坐标. 【答案】(1) (2)点P的坐标为. 【分析】（1）根据单位圆的性质，以及三角函数的定义，求角的三角函数值，方法1，根据诱导公式化解，再代入三角函数值，即可求解；方法2，构造齐次分式，代入正切值求解； （2）方法1，首先将正切化为正弦和余弦，再根据同角三角函数基本关系式，结合三角函数的定义，即可求解；方法2，直接由同角三角函数基本关系式，求解和，即可求解. 【解析】（1）因为角与单位圆交于第四象限内的点， 所以，，，，， 由，得 法1： 法2：， （2）法1：， 因为，① 所以两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以，② 由①②解得：，， 所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为，① 且，② 所以由①②解得：，， 所以 点P的坐标为. 29．（2024高一·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. (1)求的值. (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义可得的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，结合齐次式求解即可得到结果. （2）根据诱导公式求得，利用齐次式求解即可. 【解析】（1）根据三角函数的定义得，， ∵角终边在第二象限，∴，故， ∴. （2）由题意得，， ∴，， ∴， ∴ . 30．（江苏省徐州市2024-2025学年高一学期期末抽测数学试题）已知角的终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由任意角的定义即可求解； （2）由诱导公式及弦化切即可求解； 【解析】（1）由，可知：， 由任意角余弦定义可得：， 解得：， 所以； （2） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$