1.2.2完全平方公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.2 完全平方公式 主讲： 湘教版(2024)数学七年级下册 第1章 整式的乘法 学习目标 目标 1 目标 2 1.从代数、几何两个不同的角度理解完全平方公式的推导过程.（难点） 2.掌握完全平方公式的结构特征并能够运用完全平方公式进行计算.（重点） 自学指导 阅读教材P17-P19。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P17的做一做，从代数、几何两个不同的角度理解完全平方公式的推导过程，从而掌握完全平方公式的结构特点及平方差公式。 2、看P18的例5和完成P18的做一做，根据完全平方公式的结构特点，能分辨出公式中的x和y,运用完全平方公式进行计算。并掌握做题的格式与步骤。 3、看P19的说一说，根据完全平方差公式的结构特点，怎样选择完全平方公式进行计算。 4、看P19的例6，根据完全平方差公式的结构特点将有关计算转化成完全平方公式进行简便运算。 探究新知 说一说 完全平方公式1： 计算: (x+y)2 (x+y)2= (x+y) (x+y) = x2+xy+yx+y2 = x2+2xy+y2 (乘方的意义） （多项式的乘法） (合并同类项） (x+y)2= x2+2xy+y2 即多项式x+y的平方等于x与y的平方和加上x与y的积的2倍 (x+y)2= x2+2xy+y2 若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得 (x-y)2=[x+(-y)]2= x2+2x·(-y) +(-y)2 = x2-2xy+y2 完全平方公式2： 即多项式x+y的平方等于x与y的平方和减去x与y的积的2倍 (x-y)2= x2-2xy+y2 探究新知 探 究 如图，把一个边长为 a＋b 的正方形分割成 4 部分，观察图形的面积你能发现什么？ ab b2 a2 ab (a+b)2 a2+ab +ab+ b2 分割前正方形的面积： 分割后正方形的面积： （由4部分面积构成） (a+b)2 =a2+ 2ab + b2 总结归纳 探究新知 完全平方公式： (x+y)2= x2+2xy+y2 (x-y)2= x2-2xy+y2 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 公式口诀：首平方加尾平方，首尾相乘的两倍放中间， 符号与前同。 积为二次三项式. 运用完全平方公式计算 (1) 例题讲解 例5 （2）(3m+n)2 ; （3）(2x-3y)2 解: （1）将完全平方公式1中的x用a代入，y用 代入,可得 完全平方公式最关键的是找到公式中的x和y, 就可直接套用公式 （2）(3m+n)2 ; (3m + n)2 = ( 3m )2 + 2·3m·n + n2 = 9m2 + 6mn + n2 解: 将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得 完全平方公式最关键的是找到公式中的x和y, 就可直接套用公式 （3）(2x-3y)2 (2x-3y)2 = ( 2x )2 - 2·2x·3y + (3y)2 = 4x2 – 12xy +9y2 解: 将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得 完全平方公式最关键的是找到公式中的x和y, 就可直接套用公式 怎样计算 解法一： 解法二： 议一议 例 6 例题讲解 计算 (1) 1042 (2) 1982 解：由于1042=(100+4)2运用完全平方公式1得 1042 =(100+4)2 =1002+2×100×4+42 =10 000+800+16 =10 816 解：由于1982=(200-2)2运用完全平方公式2得 1982 = (200-2)2 = 2002-2×200×2+22 = 40 000-800+4 = 39 204 凑整百或整十等 1、填表 算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果 (2a+b)2 (5a-4b)2 2a b 4a2+4ab+b2 5a 4b 25a2-40ab+16b2 基础检测 (x+y)2= x2+2xy+y2 (x-y)2= x2-2xy+y2 基础检测 2. 口算下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(y －x)2 =y2 －x2 (3) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × x2+2xy +y2 y2－2xy +x2 4x2+4xy +y2 (4)(x+y)(x-y)=x2+2xy +y2 × x2 －y2 注意区分平方差公式和完全平方公式 首平方加尾平方，首尾相乘的两倍放中间，符号与前同。 基础检测 3. 下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（ ） A. (a+b)(a+c) B. (x+y)(－y+x) C. (ab－3x)(－3x+ab) D. (－m－n)(m-n) C 注意区分平方差公式和完全平方公式 基础检测 4、若 (x-5)2 = x2 + kx + 25，则 k= （ ） A. 5 B. -5 C. 10 D. -10 D 5.小兵计算一个二项整式的平方时,得到正确的结果是4x2+Δ+25y2,中间一项不小心被污染了,则这一项应是 ( ) A.10xy B.±10xy C.20xy D.±20xy D 一展身手 1.运用完全平方公式计算： (1) (2x+3)2 (2) (3) (5x-2y)2 (4) (-4a-3b)2 解： （1）(2x+3)2 = (2x)2+2·2x·3+32 = 4x2+12x+9 （2） (3) (5x-2y)2 (4) (-4a-3b)2 解： (5x-2y)2 = (5x)2-2·5x · 2y+(2y)2 = 25x2-20xy+4y2 (-4a-3b)2 = (-4a)2-2· (-4a) ·3b+(3b)2 = 16a2+24ab+9b2 一展身手 一展身手 2.计算： (1) 1032 (2) 2972 1032 =(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10 000+600+9 =10 609 解： 2972 = (300-3)2 = 3002-2×300×3+32 = 90 000-1800+9 = 88 209 3.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2 a b b a b2 由图可知把一个边长为 a 的正方形分割成 4 部分 则 (a-b)2为图中黄色部分的面积 黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积 可得: (a-b)2=a2-2b(a-b)-b2 = a2-2ab+2b2-b2 = a2-2ab+b2 所以 (a-b)2=a2-2ab+b2 解： 一展身手 挑战自我 1.已知a+b=7,ab=10,求a2+b2,(a-b)2的值. 解:因为a+b=7, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=72=49. 又因为ab=10, 所以a2+b2=49-20=29. (a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=49-40=9 挑战自我 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. 设原正方形的边长为 a cm. 3 3 （单位：cm） 小正方形的边长为 (a－6) cm. a2－ (a－6)2 = 84 a2 －(a2－12a + 36) = 84 12a = 120 a = 10 答：原正方形的边长为10 cm. 课堂小结 完全平方公式 1.公式： 2.注意 1.项数、符号、字母及其指数 2.弄清完全平方公式和平方差公式不同 3.整式的乘法 完全平方公式 特殊情形 (x+y)2= x2+2xy+y2 (x-y)2= x2-2xy+y2 主讲： 感谢聆听 湘教版七年级下册 $$