1.2.1平方差公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.1 平方差公式 主讲： 湘教版(2024)数学七年级下册 第1章 整式的乘法 学习目标 目标 1 目标 2 1.从代数、几何两个不同的角度理解平方差公式的推导过程.（难点） 2.掌握平方差公式的结构特征并能够运用平方差公式进行计算.（重点） 自学指导 阅读教材P15-P16。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P15的说一说，从代数、几何两个不同的角度理解平方差公式的推导过程，从而掌握平方差公式的结构特点及平方差公式。 2、看P16的例1、例2和例3，根据平方差公式的结构特点，能分辨出公式中的x和y,运用平方差公式进行计算。并掌握做题的格式与步骤。 3、看P16的例4，根据平方差公式的结构特点将有关计算转化成平方差公式进行简便运算。 探究新知 说一说 多项式 x+y 与 x-y 相乘，其积为多少？ (x + y)( x - y ) = x2 - xy + xy -y2= . x2-y2 多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x2-y2 平方差公式： (x + y )( x - y) = x2-y2 探究新知 探 究 问题1：如图(1)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形，则剩余部分面积为多少？ 问题2：将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图(2). 此时新图形的面积为多少？ (1) (2) 问题1： (1)的剩余面积：a2-b2 问题2： (2)的面积：(a+b)(a-b) (a+b)(a-b) = a2-b2 总结归纳 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. (x + y )( x - y) = x2-y2 (x + y )( x - y) = x2-y2 相同项为x 相反项为y 平方相减 【口诀】 一同一反，平方相减。 探究新知 例题讲解 例1 计算： （1）(2x+1)(2x-1)； （2）(x+2y)(x-2y). 解（1）(2x+1)(2x-1) = (2x)2-12 = 4x2-1 （1）（2）符合(x+y) (x－ y)的形式才能用平方差公式 将2x看作整体作为公式中的x，1作为公式中的y,则可直接套用公式：(x+y)(x-y)=x2-y2 公式中的x 公式中的y （2） (x+2y)(x-2y) = x2 -(2y)2 = x2 -4y2 与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？ 例题讲解 例2 运用平方差公式计算： 公式中的x 公式中的y 平方差公式最关键的是找到公式中的x和y, 就可直接套用公式：(x+y)(x-y)=x2-y2 例题讲解 例3 运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a) 解：由平方差公式得 (4a+b)(-b+4a) =(4a+b)(4a-b) =(4a)2-b2 =16a2-b2 将括号内的式子转化为平方差的形式(x+y)(x-y)。 公式中的x 公式中的y 适当交换位置 【平方差公式】 【口诀】 【结构特征总结】 【注意点】 (x+y)(x-y)=x2-y2。 一同一反，平方相减。 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方-相反项的平方。 ①公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ②对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 探究新知 计算：1002×998. 解：由平方差公式得 1 002×998 = (1 000+2)(1 000-2) = 1 0002-22 = 1 000 000-4 = 999 996. 例 4 因此：1002×998=999 996. 运用平方差公式可以简化一些运算。 例题讲解 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) a b a2-b2 1 x －3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 1、利用平方差公式填表。 基础检测 一同一反，平方相减(同的平方减去反的平方) 基础检测 2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是 ( ) （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)； （3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)； （5）(－a－b)(a－b) （6）(c2－d2)(d2+c2). （2）（5）（6） 一同一反，平方相减(同的平方减去反的平方) 基础检测 3、计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ） A. -x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y2 解析 (x-y)(-y-x) = [(-y)+x][(-y)-x] = (-y)2-x2 = y2-x2. 故，应选择A. A 1.首先判断是否符合公式的形式,或经过简单变形是否可以构造出合适的形式； 方法总结 2.计算时找准式子中的x和y； 3.注意括号的正确使用. 4.下面各式的计算对不对？如果不对,应当怎样改正？ (1)(x+2)(x-2)=x2-2 (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 改正： (x+2)(x-2)=x2-4 不对 改法1： (-3a-2)(3a-2)= -[(3a+2)(3a-2)]= -(9a2-4)= -9a2+4 改法2： (-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a2 适当交换位置 基础检测 （2)若将图(2)中阴影部分剪成两部分，重新拼成一个矩形，它的长是_______;宽是_______,面积____________. (写成多项式乘积的形式) 5.(1)如图(1)，可以求出阴影部分的面积是_______; (写成两个数平方差的形式) a b b a (1) (2) 基础检测 一展身手 1. 运用平方差公式计算： （1）(3x+y)(3x-y)； （2） （3）(-1+5x) (-1-5x) ； （4）(-4a-b) (4a-b). 解： (1)(3x+y)(3x-y) = (3x)2-y2 = 9x2-y2 (2) 一展身手 1. 运用平方差公式计算： （1）(3x+y)(3x-y)； （2） （3）(-1+5x) (-1-5x) ； （4）(-4a-b) (4a-b). 解： (3)(-1+5x) (-1-5x) =(-1)2 - (5x)2 =1- 25x2 (4)(-4a-b) (4a-b). = (-b-4a) (-b+4a) = (-b)2 – (4a)2 = b2 – 16a2 一展身手 （1）202×198； （2）49.8×50.2 . 2. 计算： 解: (1) 202×198 = (200+2)(200-2) = 40 000 – 4 = 39 996 (2) 49.8×50.2 = (50-0.2)(50+0.2) = 2 500-0.04 = 2 499.96 3、 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 一展身手 挑战自我 1.计算: 20232 －2022×2024; 解:20232－2022×2024 =20232－(2023-1)(2023+1) =20232－(20232－1) =20232－20232＋1 =1； 挑战自我 2.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16). 原式=（x2-y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32. 【解】 课堂小结 平方差公式 内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(x+y)(x－y)=x2－y2 2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 注意 主讲： 感谢聆听 湘教版七年级下册 $$