1.2.3运用乘法公式进行计算和推理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 主讲： 湘教版(2024)数学七年级下册 第1章 整式的乘法 学习目标 目标 1 目标 2 1、灵活运用平方差公式与完全平方公式.（重点） 2、公式变形过程中添括号、变符号等问题.（难点） 自学指导 阅读教材P20-P21。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P20的做一做，通过观察，根据平方差公式的结构特点，灵活运用平方差公式进行计算。 2、看P20的例7，认真观察，对于三项多项式的乘法，怎样分组来灵活运用乘法公式进行计算？并掌握做题的格式与步骤。 3、看P20-21的例8和例9，根据各式结构特点灵活运用乘法公式进行计算。 4、看P21的思考，数字问题中几位数怎样用代数式表示？利用乘法公式解决相关的数字问题。 探究新知 做一做 运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1) 观察式子有什么结构特点？适合用什么乘法公式？ 平方差公式 = x4-1 乘法交换律和结合律 解：原式=(x+1)(x-1)(x2+1) = （x2-1)(x2 +1 ) 平方差公式 发现(x+1)(x-1)符合平方差公式结构特点。 例题讲解 例7 运用乘法公式计算： (1) (a+b+c)2 (2) (a-b+c) (a+b-c) 怎样才能用完全平方公式呢？ 注意：要把（a+b）、c看着一个整体，那么（a+b）就相当于完全平方公式中的x；c就相当于平方差公式中的y. = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 解：(a+b+c)2 完全平方公式 完全平方公式 = a2-(b-c)2 = a2-(b2-2bc+c2) =a2-b2+2bc-c2 平方差公式 完全平方公式 注意：要把a、（b-c）看着一个整体，那么a就相当于平方差公式中的x，（b-c）就相当于平方差公式中的y. (-b+c）前添负号时，要变号即-(b-c） 解：原式= [a-(b-c）] [a+（b-c）] 例题讲解 例7 运用乘法公式计算： (1) (a+b+c)2 (2) (a-b+c) (a+b-c) 怎样运用乘法公式计算？ 添括号时注意符号的变化。 运用乘法公式计算 例题讲解 例8 (1) (a+b)2+ (a-b)2 (a+b)2+ (a-b)2 解： = a2+2ab+b2+a2-2ab+b2 = 2a2+2b2 (2) (a+b)2-(a-b)2 (a+b)2- (a-b)2 = [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)] = 2a·2b = 4ab 还有其他方法吗？ 完全平方公式2 完全平方公式1 逆用平方差公式 例题讲解 例9 运用乘法公式计算：(x+y)3 (x+y)3 解： = (x+y) (x+y)2 = (x+y) (x2+2xy+y2) = x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3 = x3+3x2y+3xy2+y3 完全平方公式1 先填空：(1) 152=100×1×______+25 (2) 252=100×2×______+25 (3) 352=100×______×______+______ 由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+___ 2 3 3 4 25 10a+5 a (a+1) 25 探究新知 思 考 基础检测 D 2、利用乘法公式计算正确的是（ ） A.B. C.D. B 基础检测 B 基础检测 4. 的计算结果是( ) . B A. B.1 C. D. 5.若，且，则 _________. 6.已知，则 _____. 一展身手 1.运用乘法公式计算： （1）(x-2)(x+2)(x2+4)； （2）(x+1)2(x-1)2； (3)(a-b-c)2 （4）(x+2y-1)(x+2y+1)； （5）(2x+y-1)(2x-y+1)； 解: (1) (x-2)(x+2)(x2+4) =(x2-4)(x2+4) = x4-16 解: (2)(x+1)2(x-1)2 = [(x+1)(x-1)]2 = (x2-1)2 = x4-2x2+1 一展身手 解:(a-b-c)2 = [a - (b + c)]2 = a2 - 2a(b + c) + (b + c)2 = a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc. (3)(a-b-c)2 （4）(x+2y-1)(x+2y+1)； 解：(x+2y-1)(x+2y+1) =[(x+2y)-1][(x+2y)+1] = (x+2y)2-1 = x2+4xy+4y2-1 还有其他方法吗？ (a-b-c)2=[(a-b)-c]2 =(a-b)2-2(a-b)c+c2 =a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2. 一展身手 （5）(2x+y-1)(2x-y+1)； 解：[2x+(y-1)] [2x-(y-1)] = (2x)2- (y-1)2 = 4x2-(y2-2y+1) =4x2-y2+2y-1 添括号时注意符号的变化。 2.运用乘法公式计算： (3x-2)2-(2x+5)2 解： (3x-2)2-(2x+5)2 =[ (3x-2)+(2x+5)] [ (3x-2)-(2x+5)] =(5x+3) (x-7) =5x2-32x-21 一展身手 一展身手 3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由 解： (n+3)2-(5n+9) = n2+6n+9-(5n+9) = n2+6n+9-5n-9 = n2-n = n(n-1) 化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。 挑战自我 1. 已知 = 3, 求 的值. 解：由 =3，得 ( )2=9 即 -2 = 9 所以 = 11 所以 ( )2 = 121 即 +2 = 121 所以 = 119 挑战自我 2、计算：（2+1）×（22+1）×（24+1)×…×(264+1)+1 原式=1×（2+1）×（22+1)（24+1)×…×(264+1)+1 =（2-1）×（2+1）×（22+1）×…×(264+1)+1 =（22-1）×（22+1）×（24+1)×…×(264+1)+1 =…… =(264-1)×(264+1)+1 =2128-1+1 =2128 课堂小结 1、乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： (x+y)（x-y）=x2-y2 2、数学思想： 整体思想、转化思想 (x+y)2= x2+2xy+y2 (x-y)2= x2-2xy+y2 运用乘法公式注意事项： 1.要根据具体情况灵活运用乘法公式、幂的运算性质(正用与逆用)。 2.式子变形添括号时注意符号的变化。 主讲： 感谢聆听 湘教版七年级下册 $$