6.3.2 二项式系数的性质（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 题型一 二项式系数的最值问题 1．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，二项式系数最大的项是第（    ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由二项式定理知其展开式有21项， 根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项.故选：C 2．（24-25高二上·山东德州·月考）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为．故选：. 3．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】C 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得.故选：C. 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】AB 【解析】A选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故A正确； B选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数， 第6项二次项系数最大且相等，故满足题意，故B正确； C选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不满足题意，故C错误； D选项，此时展开式有12项，第6项二次项系数， 第7项二次项系数最大且相等，不满足题意，故D错误.故选：AB. 题型二 展开式系数最值问题 1．（24-25高二上·上海松江·月考）的二项展开式中系数最大的项是（    ） A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【解析】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项.故选：B 2．（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【解析】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B 3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【答案】B 【解析】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即.故选：B 4．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B. 题型三 利用赋值法解系数问题 1．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】令，则，故选：B. 2．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知，则 ； 【答案】 127 【解析】因为，令，则； 表示展开式中各项系数和， 则， 因为，则； 故答案为：；127. 3．（23-24高二下·浙江金华·月考）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【答案】B 【解析】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得，故选：B 4．（23-24高二下·山东菏泽·月考）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【解析】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以，故选：C 题型四 利用二项式定理解整除或求余问题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·月考）被8整除的余数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】C 【解析】由 ， 所以被8除所得的余数是7.故选：C. 2．（23-24高二下·广东汕尾·月考）今天是星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 【答案】C 【解析】所以， 所以除以的余数为， 今天是星期三，再过天是星期四.故选：C． 3．（23-24高三下·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】令，得，令，得， 两式相减，， 因为， 其中被3整除，所以被3除的余数为1， 综上，能被3整除．故选：D. 4．（23-24高二下·广西崇左·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】D 【解析】， 所以除以9的余数是8，选项中只有2024除以9余8.故选：D 题型五 利用二项式定理近似计算 1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解析】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确.故选：C 2．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 故答案为：. 4．（22-23高二下·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：因为 所以能被整除； （2） 题型六 利用二项式定理解“杨辉三角” 1．（23-24高二下·广西河池·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 . 【答案】 【解析】第30行中第12个数与第13个数之比为 . 故答案为： 2．（23-24高二下·陕西咸阳·月考）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】依题意， “广义杨辉三角形”构造方法为：第0行为1， 以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和， 所以“广义杨辉三角形”的第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 在的展开式中，的系数为45，的系数为30， 的展开式中，的系数为，解得.故选：A 3．（23-24高二下·海南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【解析】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高二上·江西·月考）（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【解析】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误.故选：BC. 1．（23-24高二下·山东烟台·月考）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9．故选：B． 2．（23-24高二下·北京·月考）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误.故选：D 3．（24-25高二上·辽宁·月考）（多选）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 【答案】AD 【解析】因为二项式系数之和为64，即有，所以， 则的通项， 对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确； 对于B，令，得，得常数项为，错误； 对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误； 对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由， 可知展开式中系数最大的项是第3项，正确.故选：AD 4．（23-24高二下·福建泉州·月考）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由题意：令，解得，所以选项A错误； 对于B，令，得， 令，， 得：， 所以，由， 所以，所以选项B正确； 对于C，令，得， 所以，所以选项C错误； 对于D，令，， 所以，所以选项D正确.故选：BD. 5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 【答案】55 【解析】 若能被64整除，则需能被64整除，所以正整数的最小值为55． 故答案为：55． 6．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）若二项式，则 【答案】 【解析】因为， 令，可得， 又因为的展开式的通项公式为 ， 可知， 可得， 则，即， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 【答案】(1)216；(2) 【解析】（1）， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为， ∴中含项的系数为216， （2）， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.2 二项式系数的性质 题型一 二项式系数的最值问题 1．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，二项式系数最大的项是第（    ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高二上·山东德州·月考）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型二 展开式系数最值问题 1．（24-25高二上·上海松江·月考）的二项展开式中系数最大的项是（    ） A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 2．（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 4．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 利用赋值法解系数问题 1．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知，则 ； 3．（23-24高二下·浙江金华·月考）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 4．（23-24高二下·山东菏泽·月考）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 题型四 利用二项式定理解整除或求余问题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·月考）被8整除的余数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．5 2．（23-24高二下·广东汕尾·月考）今天是星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 3．（23-24高三下·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（23-24高二下·广西崇左·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 题型五 利用二项式定理近似计算 1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 2．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 4．（22-23高二下·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 题型六 利用二项式定理解“杨辉三角” 1．（23-24高二下·广西河池·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 . 2．（23-24高二下·陕西咸阳·月考）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24高二下·海南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 4．（24-25高二上·江西·月考）（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 1．（23-24高二下·山东烟台·月考）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24高二下·北京·月考）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·月考）（多选）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 4．（23-24高二下·福建泉州·月考）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 6．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）若二项式，则 7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$