6.3.2　二项式系数的性质（练习）-2020-2021学年下学期高二数学同步精品课堂(新教材人教A版选择性必修第三册)

6.3.2　二项式系数的性质（练习） (时间：50分钟　分值：100分) SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点1　二项式系数的性质 1．(5分)已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 D　解析：因为Ceq \o\al(1,n)＝Ceq \o\al(3,n)，所以n＝4.令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.故选D. 2．(5分)在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是(　　) A．Ceq \o\al(99,201) B．Ceq \o\al(100,201) C．Ceq \o\al(101,201) D．Ceq \o\al(102,201) B　解析：二项式系数最大的项是第101项和第102项，因为T101＝Ceq \o\al(100,201)x100，T102＝－Ceq \o\al(101,201)x101＝－Ceq \o\al(100,201)x101，且第102项的系数为负，所以第101项的系数最大，为Ceq \o\al(100,201)，故选B. 3.(5分)在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________． 70a4b4　126a5b4与126a4b5　解析：因为(a＋b)8的展开式有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ceq \o\al(4,8)a4b4＝70a4b4. 因为(a＋b)9的展开式有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ceq \o\al(4,9)a5b4＝126a5b4，Ceq \o\al(5,9)a4b5＝126a4b5. 知识点2　各二项式系数的和 4．(5分)(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　) A．n＝7 B．所有项的系数和为0 C．偶数项的系数和为－64 D．展开式的中间项为－35x3和35x4 ABC　解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．所有项的系数和为0，偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Ceq \o\al(3,7)x4·(－1)3＝－35x4，T5＝Ceq \o\al(4,7)x3(－1)4＝35x3，故选ABC. 5．(5分)若(x＋3y)n的展开式中的系数之和等于(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 A　解析：(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210.对于(x＋3y)n，令x＝1，y＝1，则由题意，知4n＝210，解得n＝5. 6．(5分)已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 B　解析：设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1. 分别令x＝1，x＝－1，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，,a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，)) 两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝eq \f(32n－1,2). 由已知，得eq \f(32n－1,2)＝364， ∴32n＝729＝36，即n＝3. (1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大． 知识点3　展开式系数的最值 7．(5分)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则eq \f(b,a)的值为(　　) A.eq \f(128,5) B．eq \f(256,7) C.eq \f(512,5) D．eq \f(128,7) A　解析：a＝Ceq \o\al(4,8)＝70，设b＝Ceq \o\al(r,8)2r，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r－1,8)2r－1，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))解得5≤r≤6， 所以b＝Ceq \o\al(6,8)26＝Ceq \o\al(5,8)25＝1 792，所以eq \f(b,a)＝eq \f(128,5). 8.(10分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\