6.3.1 二项式定理（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 题型一 二项式定理的正用、逆用 1．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知，若，则 ． 2．（23-24高二下·宁夏银川·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东菏泽·月考）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式； （2）化简：． 题型二 二项展开式中的特定项问题 1．（24-25高二上·吉林四平·月考）展开式中的常数项为 ． 2．（23-24高二下·云南昭通·月考）的展开式中的系数为（    ） A．32 B． C．16 D． 3．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 4．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 题型三 三项展开式问题 1．（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二下·安徽亳州·期中）二项式展开式中，含项的系数为（    ） A．20 B． C． D．80 3．（23-24高二下·辽宁丹东·月考）在的展开式中项的系数 ． 4．（23-24高二下·山东青岛·月考）在的展开式中，项的系数为 ． 题型四 多项积展开式问题 1．（23-24高二下·福建福州·月考）若的展开式中的系数为40，则实数 . 2．（24-25高二上·山东德州·月考）在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．160 C． D．100 3．（24-25高二上·陕西渭南·月考）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南·月考）展开式中项的系数为 ． 1．（23-24高二下·辽宁丹东·月考）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·河南驻马店·月考）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中）（多选）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）计算： ． 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）在的展开式中，把叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1 二项式定理 题型一 二项式定理的正用、逆用 1．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知，若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，解得． 2．（23-24高二下·宁夏银川·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 即， 所以， 则， 即.故选：D 3．（23-24高二下·山东菏泽·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选：B. 4．（23-24高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）． （2）原式 ． 题型二 二项展开式中的特定项问题 1．（24-25高二上·吉林四平·月考）展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【解析】二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为； 2．（23-24高二下·云南昭通·月考）的展开式中的系数为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【解析】的二项展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为.故选：. 3．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【解析】由题意可知：展开式中的第3项为.故选：D. 4．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 【答案】C 【解析】由二项式定理可知，的展开式中含项的系数为.故选：C. 题型三 三项展开式问题 1．（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中无理项的项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题， 又的展开式， 所以的展开式的通项公式为， 所以当的指数不为整数时，该项为无理项， 而当时，不为整数，所以展开式中无理项的项数为4.故选：B. 2．（23-24高二下·安徽亳州·期中）二项式展开式中，含项的系数为（    ） A．20 B． C． D．80 【答案】A 【解析】表示5个因式的乘积， 要得到含项，需有1个因式取，其余的4个因式都取，系数为， 或者需有2个因式取项，需有2个因式取，其余的1个因式都取，系数为， 故含项的系数为．故选：A. 3．（23-24高二下·辽宁丹东·月考）在的展开式中项的系数 ． 【答案】 【解析】是6个相乘，需要依次从每个的三项中取出一项后相乘， 就可得到展开式中的一项. 得到项的方法，按6个中取项的个数可分为三类： 第一类是，6个都不取项，即6个中选5个里取， 另1个里取，相乘得，共种取法，合并同类项后即得到； 第二类是，6个中选1个里取， 其余个中选个里取，余下2个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到； 第三类是，6个中选2个里取， 其余个中选个里取，余下3个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到. 再将上述三项合并，得，因此项的系数为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·山东青岛·月考）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】1260 【解析】在表示有10个相乘，项来源如下： 有6个提供，有2个提供，有2个提供， 故项的系数为. 故答案为：1260 题型四 多项积展开式问题 1．（23-24高二下·福建福州·月考）若的展开式中的系数为40，则实数 . 【答案】 【解析】因， 故其展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·山东德州·月考）在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．160 C． D．100 【答案】C 【解析】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为.故选：C 3．（24-25高二上·陕西渭南·月考）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式的通项为，， 又， 分别令、，分别解得和， 所以的展开式含项的系数为.故选：C. 4．（23-24高二下·河南·月考）展开式中项的系数为 ． 【答案】528 【解析】， 因为展开式第项为， 所以的系数为. 1．（23-24高二下·辽宁丹东·月考）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为二项式的展开式的通项公式为， 所以二项式的展开式的前三项的系数依次为， 由已知依次成等差数列，且， 则，即， 化简得，解得，或（舍去）， 故二项式的展开式的通项公式为，. 设为有理项，则为整数，可得， 故此展开式中有理项的项数是3.故选：C. 2．（24-25高二上·河南驻马店·月考）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 令，得， 令，得， 两式作差，可得， 故．故选：B． 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中）（多选）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 【答案】ACD 【解析】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A正确； 由，得展开式中项数共有项，故B错误； 令，得， 所求含项的系数为.故C正确； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D.故选：ACD. 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由二项式定理可得， 令得，同理可得，，，.故选：ACD. 5．（23-24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【解析】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）计算： ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）在的展开式中，把叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，求的值． 【答案】(1)14；(2)0 【解析】（1） 令得： ① 令得： ② ①+②得：， 所以. （2）因为 所以， 右边展开式中含项的系数为 ， 而展开式中左边含项的系数为0， 所以. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$