热点2-4 函数的图象及零点问题（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点2-4 函数的图象及零点问题 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考数学持续考查函数图象的识别，要求考生根据函数表达式判断其在给定区间内的大致形状．同时，函数零点问题也是重点，包括零点存在性判断、零点个数以及参数范围的求解等．2023年还涉及根据函数部分图象判断解析式的内容．整体来看，这部分内容难度适中，注重对基础知识和基本技能的考查，同时也体现了对数形结合思想的运用． 函数图象：将继续重点考查图象识别，以选择题或填空题的形式出现，难度不大． 函数零点：依然是高考热点，主要结合函数图象研究函数的零点．可能会考查利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数、根据函数零点的个数或位置、求解参数的取值范围． 综合应用：可能会将函数零点问题与导数、不等式等知识综合考查，如利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而判断零点的存在性和个数． 题型1 函数图象画法及图象变换 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 1．（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象． ① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）. （2）作出下列函数的图象． ① y＝（）|x|； ② y＝|log2（x＋1）|； ③ y＝. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】（1）①把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图． ②保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的， 并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的图象，如图． ③把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图． ④结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图． ⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图． ⑥把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图． （2）①作出y＝（）x（x≥0）的图象， 再将y＝（）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝（）|x|的图象， 如图①中实线部分． ② 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去， 即可得到函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图②中实线部分． ③ 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度得到，如图③. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到.故选：B 3．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.故选：C. 4．将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数的图像，则可能是下列函数中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像， 函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A错误； 对B：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像 ，所以函数为奇函数，满足条件，故B正确； 对C：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像， 函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对D：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像， 定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故D错误．故选：B 题型2 根据函数解析式选择图象 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 1．（24-25高三上·福建泉州·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 且 . 所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误； 又， 而，即，所以，所以，故C错误. B符合函数的性质.故选：B 2．（24-25高三上·安徽阜·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故AC不正确； 当时，，且为减函数， 所以为增函数，故B不正确.故选：D. 3．（24-25高三上·还你长沙·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C.故选：A. 4．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 当时，，即，因此，故排除A.故选：D. 题型3 根据函数图象选择解析式 （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 1．（24-25高三上·辽宁·月考）函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，，，与图象矛盾，故A错误； 对于B，当时，，则，与图象矛盾，故B错误； 对于C，当时，，无意义，故C错误； 对于D，因，则， 由知函数为偶函数，图象关于轴对称； 且当时，，无意义； 当时，，即函数在上单调递减， 故在上单调递增，该图象均符合，即D正确.故选：D. 2．（24-25高三上·天津·月考）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,，其定义域为，有， 则函数为奇函数，不符合题意，故A错误； 对于B，，其定义域为， 有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误； 对于C，，在区间上，，不符合题意，故C错误. 对于D，，则为偶函数， 且在区间上，，符合题意，故D正确.故选：D. 3．（24-25高三上·江西萍乡·月考）已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为， 所以，，， 而， 即，，所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为，所以，，， 显然，，所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为，所以，， 显然，，所以在上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为定义域为， 当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增； 当时，，在上单调递增且， 在上单调递减， 当时，当时，符合题意， 结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确.故选：C. 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知函数，则图象为下图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数， 对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数此时函数为奇函数， 又由，当时，，此时函数在区间单调递增， 而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D. 题型4 根据实际问题作函数图象 根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）． （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）． 1．（23-24高三下·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意.故选：C. 2．（23-24高三下·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段.故选：A． 3．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”， 结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C. 4．（23-24高三上·湖南衡阳·月考）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为： 增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D. 题型5 函数零点所在区间问题 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点． （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．（24-25高三上·安徽亳州·月考）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 由可知，函数在内单调递增， 根据零点存在定理，函数的零点所在的大致区是.故选：C 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域为， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的零点所在区间为．故选：A 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上均单调递减，则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；故选：B. 4．（24-25高三上·四川德阳·月考）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】， 当时，，，在上递增， 而，，时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，，时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4. 题型6 确定函数零点的个数 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 1．（24-25高三上·福建平和·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，令，解得， 当时，，， 在连续，所以在上存在零点， 又因为单调递增，所以函数在上有唯一零点， 综上，的零点个数为2.故选：C 2．（24-25高三上·浙江·月考）函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出与的图象如图所示： 根据图象可知，交点个数是个.故选：C. 3．（24-25高三上·四川攀枝花·月考）函数，则函数的零点个数是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】由题意可得， 令，所以， 令，则在上都为增函数， 且易得当或时，， 当时，易得在的下方， 当时，易得在的上方， 当时，对数函数的增长速度小于一次函数，故此时在的下方. 综上：函数有两个零点分别为.故选：A. 4．（24-25高三上·北京·月考）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点.故选：D. 题型7 根据零点个数求参数范围 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解． 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围． 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 1．（24-25高三上·河北承德·月考）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数有零点，即有解， 故实数的取值范围就是求的值域. ，且， 故函数的值域为，则m的范围为，故选：A 2．（24-25高三上·海南·月考）已知函数若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程有3个实数解，所以与的图像有三个交点， 因为 所以做出与的大致图像，如图， 由图可知，故选：D. 3．（24-25高三上·广东普宁·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示： 由图可得，的图象与的图象有解， 则.故选:D. 4．（24-25高三上·江西宜春·月考）设函数，若恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 令，可得: 当时，，所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上有两解为或， 当时，， 所以当时，，即方程有一个解， 当时，，即方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点. 因为恰有2个零点，所以或， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型8 函数零点求和问题 在解决“函数零点求和问题”时，首先需要确定函数的零点，即求解方程的根．对于多项式函数，可利用韦达定理直接求得零点之和，而对非多项式函数，则需通过分析其性质（如对称性、周期性等）来简化求解过程．最终将所有零点相加得到结果，并进行验证以确保准确性． 1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则.故选：A 2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）函数所有零点的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，绘制函数与函数的图象， 可知与的图象恰有个公共点， 且它们的图象均关于直线对称，所以所有零点的和为.故选：C 3．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为.故选：A 4．（24-25高三上·广西·月考）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，则， 又是偶函数，则，所以时，， 又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示， 不妨设与在区间上的交点分别为， 由图可知，， 则方程在上所有的实数根之和为，故选：C. 题型9 函数零点和积范围问题 1、巧用韦达定理：，； 2、巧用对数运算法则：如，一定有； 3、同一变量，构造函数求和积范围． 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故.故选：D. 3．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以，作出其图象如下图所示： 则由图知且, 满足，即， 故，令且， 则上式， 令，则，，故 在内单调递增，则. 故答案为： 4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】作出函数图像可得， 从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，，最大值为． 题型10 嵌套函数的零点问题 嵌套函数的零点问题解题思路： 1、先看外层零点，把外层零点一一列出：，，…； 2、再从外层函数作直线，，…，交点个数即为复合函数的零点个数． 1．（23-24高三上·湖北·开学考试）设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由， 可得当时，，当时，，解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示， 由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个，故选：C 2．（24-25高三上·江西新余·月考）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 令，，则换元整理为， 作出图像和在上的大致图象， 由图可知两函数在定义域内有两交点， 即方程在定义域内有2个实根分别为，， 再作出的图像，用和与之相交，共有8个实根. 故选：D. 3．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象， 令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是.故选：B. 4．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出的图象如下： 令，则函数至多两个零点， 而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点， 需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同， 所以，由韦达定理得，， 显然，故， 故，， 由对勾函数性质得在上单调递减， 所以， 此时满足，故。故选：B （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，，且中， 故，在单调递增，因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是，故选：C 2．（23-24高三下下·广东湛江·一模）函数零点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．故选:C． 3．（24-25高三上·海南海口·月考）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D 4．（24-25高三上·天津·月考）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数图象的对称性可知为奇函数， 对于A项，不是奇函数，故排除； 对于B项，可取0，故排除； 对于D项，，故排除.故选：C. 5．（23-24高三上·贵州遵义·月考）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则，解得.故选：D 6．（23-24高三下·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为，所以函数的零点在上，即， 因为，所以函数的零点在上，即， 因为，所以函数的零点在上，即， 综上，．故选：B． 7．（24-25高三上·山东济南·月考）已知实数满足，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题设，则或时，时，， 所以在上递增，在上递减，且， 由，即，而在R上递增，在R上递减， 显然，故， 所以，又趋向时趋向趋向时趋向， 综上，共有3个零点．故选：D 8．（24-25高三上·海南·月考）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为， 在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设， 则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故.故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确．故选：BCD 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ACD 【解析】的图象如图所示， 方程的根的个数可转化为，直线与交点的个数， 由图可知，当时，直线与交点的个数为2， 因此选项ACD满足题意.故选：ACD. 11．（24-25高三上·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【解析】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合.故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的零点个数为 . 【答案】2 【解析】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 13．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数且的所有零点的和等于 . 【答案】0 【解析】由可得， 易知函数和函数都为奇函数， 在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示： 所以两函数图象交点都关于原点成中心对称， 因此函数且的所有零点的和等于0. 14．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，， 所以在上单调递增， 当时，，， 则当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则. 所以的大致图象如图所示. 令，则方程可转化为； 结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点， 当或时，函数与函数有两个交点， 当或时，函数与函数有一个交点； 若关于的方程有5个不同的实数根， 则方程有两个不相等的实根，且满足，或； 若可得，解得； 经检验当时，方程即为， 解得，符合题意； 若方程有两个不相等的实根需满足，, 故，即，解得 综上可知，实数的取值范围为或， 所以实数的取值范围是. 四、解答题 15．（24-25高三上·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由可得，即，所以， 又，所以，因此； 因为，即，解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得，所以. 16．（24-25高三上·四川自贡·月考）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【答案】(1)1，或；(2)；(3) 【解析】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点2-4 函数的图象及零点问题 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考数学持续考查函数图象的识别，要求考生根据函数表达式判断其在给定区间内的大致形状．同时，函数零点问题也是重点，包括零点存在性判断、零点个数以及参数范围的求解等．2023年还涉及根据函数部分图象判断解析式的内容．整体来看，这部分内容难度适中，注重对基础知识和基本技能的考查，同时也体现了对数形结合思想的运用． 函数图象：将继续重点考查图象识别，以选择题或填空题的形式出现，难度不大． 函数零点：依然是高考热点，主要结合函数图象研究函数的零点．可能会考查利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数、根据函数零点的个数或位置、求解参数的取值范围． 综合应用：可能会将函数零点问题与导数、不等式等知识综合考查，如利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而判断零点的存在性和个数． 题型1 函数图象画法及图象变换 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 1．（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象． ① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）. （2）作出下列函数的图象． ① y＝（）|x|； ② y＝|log2（x＋1）|； ③ y＝. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（    ） A． B． C． D． 3．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数的图像，则可能是下列函数中的（    ） A． B． C． D． 题型2 根据函数解析式选择图象 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 1．（24-25高三上·福建泉州·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽阜·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·还你长沙·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型3 根据函数图象选择解析式 （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值． （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性． （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 1．（24-25高三上·辽宁·月考）函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·月考）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西萍乡·月考）已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知函数，则图象为下图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 题型4 根据实际问题作函数图象 根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）． （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）． 1．（23-24高三下·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖南衡阳·月考）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型5 函数零点所在区间问题 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点． （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．（24-25高三上·安徽亳州·月考）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川德阳·月考）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 题型6 确定函数零点的个数 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 1．（24-25高三上·福建平和·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高三上·浙江·月考）函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川攀枝花·月考）函数，则函数的零点个数是（    ） A． B． C．1 D．0 4．（24-25高三上·北京·月考）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型7 根据零点个数求参数范围 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解． 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围． 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 1．（24-25高三上·河北承德·月考）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·海南·月考）已知函数若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东普宁·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西宜春·月考）设函数，若恰有2个零点，则的取值范围是 . 题型8 函数零点求和问题 在解决“函数零点求和问题”时，首先需要确定函数的零点，即求解方程的根．对于多项式函数，可利用韦达定理直接求得零点之和，而对非多项式函数，则需通过分析其性质（如对称性、周期性等）来简化求解过程．最终将所有零点相加得到结果，并进行验证以确保准确性． 1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）函数所有零点的和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广西·月考）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 题型9 函数零点和积范围问题 1、巧用韦达定理：，； 2、巧用对数运算法则：如，一定有； 3、同一变量，构造函数求和积范围． 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是 . 4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 题型10 嵌套函数的零点问题 嵌套函数的零点问题解题思路： 1、先看外层零点，把外层零点一一列出：，，…； 2、再从外层函数作直线，，…，交点个数即为复合函数的零点个数． 1．（23-24高三上·湖北·开学考试）设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高三上·江西新余·月考）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：(    ) A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下下·广东湛江·一模）函数零点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·海南海口·月考）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·月考）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·贵州遵义·月考）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东济南·月考）已知实数满足，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高三上·海南·月考）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（24-25高三上·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 三、填空题 12．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的零点个数为 . 13．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数且的所有零点的和等于 . 14．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 16．（24-25高三上·四川自贡·月考）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$