精品解析：四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测八年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1、全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2、考生使用答题卡作答，在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在试卷和答题卡上． 3、选择题部分使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． A卷（满分100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 对顶角相等 C. 三角形的外角大于三角形的内角 D. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，5 C. 4，4，4 D. 6，8，10 5. “活力东部新区，运动未来之城”，2024年11月22日-24日，成都东部新区第二届中小学生田径运动会在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳远的15名中学生运动员的身高如下表所示： 身高（m） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.73 1.75 1.76 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员身高的众数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.75 D. 1.76 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 无理数的相反数是________． 10. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为_______． 11. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 12. 在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为________． 13. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程组： 15. 某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． （1）本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图； （2）求本次所抽取学生“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 17. 一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示． （1）师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升； （2）求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式； （3）加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？ 18. （1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如图，数轴上点表示的实数是___________． 20. 已知直线与交于点，则方程组的解为________． 21. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 22. 如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为________． 23. 若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为________；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． （1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； （2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 25. 如图1所示，一次函数图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交于点C，D是线段的中点； （1）求b的值及点D的坐标； （2）如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； （3）如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 26. 如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． （1）求证：； （2）当E运动到的中点时，求线段的长度； （3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1、全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2、考生使用答题卡作答，在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在试卷和答题卡上． 3、选择题部分使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． A卷（满分100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：A、 ，是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意； D、 ，是有理数，不符合题意； 故选B． 2. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标的属性(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，确定即可． 【详解】∵1＞0，2＞0， ∴点P（1，2）位于第一象限， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与象限：(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，，熟练掌握坐标与象限的关系是解题的关键． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 对顶角相等 C. 三角形的外角大于三角形的内角 D. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．利用锐角和钝角的定义、对顶角的性质、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，5 C. 4，4，4 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C.，不能构成直角三角形，不符合题意； D. ，能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 5. “活力东部新区，运动未来之城”，2024年11月22日-24日，成都东部新区第二届中小学生田径运动会在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳远的15名中学生运动员的身高如下表所示： 身高（m） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.73 1.75 1.76 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员身高的众数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.75 D. 1.76 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求解即可． 【详解】解：∵1.72出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是1.72． 故选A． 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： ． 故选：B． 7. 如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质．由平行线的性质推出，求出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵光线平行于主光轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 无理数的相反数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的性质．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【详解】解：数的相反数是． 故答案为：． 10. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，根据点A的特点列出关于m、n的关系式是解题的关键．根据点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，可得出，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：0． 11. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， 从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， 丁的方差较小， 选择丁参加比赛， 故答案为：丁． 12. 在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出的长，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 【答案】10km 【解析】 【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图： 观察图形可得：（km）， （km）， 在中， （km）． 故答案为：10km． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则，学会用代入法解方程组． （1）利用完全平方公式，二次根式的性质，绝对值的性质计算即可； （2）利用代入法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴． 15. 某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． （1）本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图； （2）求本次所抽取学生“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数． 【答案】（1） 60，补全条形统计图： （2）3本 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．熟练掌握两种统计图的互补性质，条形统计图数据计算和补充，加权平均数的计算，样本估计总体，是解题的关键． （1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4的人数；从而补全统计图即可； （2）根据平均数的定义即可得出答案； （3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本及以上的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 读4本的人数有： (人)， 故答案为：60； 【小问2详解】 本次所抽取学生“读书量”的平均数是： (本)； 答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2） 为直角三角形． 理由：由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示． （1）师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升； （2）求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式； （3）加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？ 【答案】（1）3，12 （2）； （3） 要到达目的地，油箱中的油不够用．理由如下： （小时），（升）， ∵， ∴要到达目的地，油箱中的油不够用． 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，从图象中获得必要的数学信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）观察图象可知师傅行驶几小时后去服务区休息，根据每小时耗油量=耗油量÷行驶时间计算即可； （2）根据剩余油量=驶出服务区时油箱的油量-每小时耗油量×行驶时间解答即可； （3）根据时间=路程÷速度求出到贵阳还需要多长时间，从而计算出这段时间的耗油量并与加完油时油箱里的油量相比即可得出结论． 【小问1详解】 解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）． 故答案为：3，12； 【小问2详解】 解：， ∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略 18. （1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）或 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性较强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，求得，则，而，由勾股定理得，于是得到问题的答案； ②设，则，根据勾股定理求得，作于，由角平分线的性质得，证明，得，，设，则，在中，根据勾股定理得，求解可得； （2）由，得，，根据勾股定理求得，，作于，利用三角形面积求得 ，根据勾股定理求得 ，作于，证明，得，，进而可得，根据勾股定理即可求得；当点在点右侧时，根据勾股定理求出，，得到，在上取点，使，连接，可证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， ， ， ； ②设，则， 在中， ， ， ， ， 作于， 平分， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 即的长为； （2）， ， ， ， ， ，， 作于， ， ， ， 中， ， 作于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 当点在点右侧时，如图4， 由题得 ， ， ， ， 设， ， ， 经检验：是方程的解， ， ， ， 在上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如图，数轴上点表示的实数是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在负半轴即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 20. 已知直线与交于点，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．把P点的坐标代入函数的解析式得到点，根据P点的坐标得出答案即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， ∴点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 21. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 22. 如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点G，使，连接，证明，，得，得，当点M运动到上时，，取得最小值，此时点F在上，，，，得，即得． 【详解】解：延长到点G，使，连接， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， 当点M运动到上时， ，取得最小值， 此时点F在上，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了长方形旋转．熟练掌握长方形性质，旋转性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 23. 若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为________；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为________． 【答案】 ①. 3115 ②. 8163 【解析】 【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴四位数． ∴，． ∴． ∴当时，a可以取得最小值3． 又， ∴； ∵， ∴ ． ∵为整数， ∴为整数． 又，， ∴或．①当时．根据题意可知，， ∴，．∴． ∴． ∴不符合题意． ②当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵ K为正整数， ∴． ∴． ∴； ∴． ③当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵K为正整数，． ∴不合． ∴． 综上所述，符合条件的的最大值为8163． 故答案为：3115，8163． 【点晴】本题主要考查了新定义——“开心数”．熟练掌握新定义，理清数量关系，列数字表达式，列方程，实数综合运算，分类讨论，是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． （1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； （2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 【答案】（1）每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵， ∴当时，W值最小，． 答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 25. 如图1所示，一次函数图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交于点C，D是线段的中点； （1）求b的值及点D的坐标； （2）如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； （3）如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由得，，由，得，得，得，即得； （2）设,则，连接，可得，，得，根据，得，得，得,得，得，求得，根据，得，得，得，即得； （3）设,则，连接，根据垂直平分，和折叠，可得是等边三角形，得，得，根据，得，得，即得或． 【小问1详解】 解：中，时，；时，， ∴，， 代入， 得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则， 连接， ∵，， ∴，, ∵D是中点， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∴， ∴, ∵ F是E关于原点的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴； 【小问3详解】 设，则， 连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠知，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形性质，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 26. 如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． （1）求证：； （2）当E运动到的中点时，求线段的长度； （3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）线段的长度为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，再结合等角的余角相等，即可证明结论成立； （2）设，则，延长至，使，连接，，证明，推出，，再证明，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）连接，，先证明，得到，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E是的中点， ∴， 设，则， 延长至，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为； 【小问3详解】 解：连接，， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $