信息必刷卷03（新高考Ⅱ卷专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅱ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：高考命题趋势正在发生变化，题目呈现方式也在不断创新。命题上，高考题目正逐步减少对记忆性知识的考查，增加对学生应用能力、分析能力和创新能力的测试。2025年也将保持2024年试卷的题型格局和赋分方案，分别为单选题8个、多选题3个、填空题3个、解答题5个。同时，测试卷控制了阅读总量，减少了繁琐运算，科学设计了试卷的难度梯度，延续了“多考想的、少考算的”的考查理念，尤其体现在单选题和填空题最后一题上。 高考·新考法：创新题型潜藏于各类试题设计之中，由显性考核转变为隐性考核。2025年新定义（创新试题）可能出现在选择题，尤其是多选题的位置，值得注意的是，今年8省联考19题从创新题改为立体几何，并不意味着考试难度的降低。相反，这一变化可能是在为未来的新高考做铺垫，预示着立体几何将成为新的考查重点。而立体几何题目的创新设计，也将成为拉开尖子生差距的关键因素之一。 命题·大预测：（1）试题难度对学生会有明显分层，常规题难度进一步降低，平时认真学习的同学拿下100分将会更加容易。第8题难度比以往可能会有所降低，不一定是以压轴题的身份出现，大部分认真学习的同学都可以拿下。 （2） 前两道大题可能增加一问变成3问，进而计算量加大，得分点更加细化，这样会更加有利于中档学生得分。 （3） 压轴题很可能是11、13、14、18、19题，它侧重考察了尖子生的创新能力。高考的压轴题目有可能趋向于强基计划和竞赛的风格，这使得尖子生在解决压轴题目时更易凸显其差距。 对于2025年的备考，考生需要全面复习六大金刚——三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、概率与统计、导数，尖子生特别要加强对“立体几何+圆锥曲线”和“导数+数列”这两部分内容的复习。这两部分最有可能出现在今年创新题压轴，分值高。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 因此，. 故选：A. 2．设复数z满足，则|z|=（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 3．点满足，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线 【答案】C 【解析】动点满足， 设，可得， 所以在线段上运动，集合P为线段. 故选：C． 4．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“ ”的否定为“”， 故选：A. 5．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 所以. 因为，所以，则. 故选：B. 6．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 7．已知双曲线的离心率为，、为双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的一点，且的面积为3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，可得， 又，所以， 又 ， 所以，则， 由，可得. 故选：C 8．在边长为3的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知和都是等边三角形， 是中点，，，又，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，同理平面平面， 所以在平面内的射影是，所以是与平面所成的角， 设分别是和的外心，则，，且， 在平面内过作，过作，与交于点， 则平面，同理平面， 平面，则， 所以是四面体外接球的球心， 由已知，，又， 所以， ，， ，， 由对称性知， ， 所以直线与平面BCD所成角的正弦值为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12 B．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 C．若随机变量服从二项分布，且，则 D．若随机变量服从正态分布，则 【答案】AC 【解析】A：这个数的平均数为：，所以本选项说法正确； B：由可知：这个数据的第30百分位数为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以由， 因此，所以本选项说法正确； D：因为， 所以， 因此，所以本选项说说不正确， 故选：AC 10．几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下： 张三：甲是第4名； 李四：乙不是第2或第4名； 王五：丙排在乙前面； 刘六：丁是第1名 已知只有一个人说假话，下列正确的是（    ）． A．丙是第1名 B．乙是第2名 C．丁是第3名 D．甲是第4名 【答案】AD 【难度】0.65 【解析】若张三说假话，则丁第1名，因为乙不是第2或第4名，于是乙只能是第3名，又因为丙排在乙前面，于是丙只能为第2名，推出甲为第4名，与张三说假话矛盾; 若李四说假话，则丁第1名，甲第4名，因为丙排在乙前面，故丙第2名，乙第3名，与李四说假话矛盾; 若王五说假话，则丁第1名，甲第4名，因为乙不是第2或第4名，所以故丙第2名，乙第3名，这与王五说假话矛盾; 若刘六说假话，则甲第4名，结合乙不是第2或第4名与丙排在乙前面可知乙只能为第3名，故丙为第1或2名，但丁不为第1名，故丙第1名，丁第2名; 综上，AD正确． 故选：AD. 11．已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，点关于的对称点是， 因为的图象关于对称，该点在函数的图象上，所以，故A正确. 对于B，因为为奇函数，所以， 将替换为有，则. 又的图象关于对称，所以， 则，故B正确. 对于C，在中将替换为有， 由B知，，两式相减得到，故C错误. 因为为奇函数，所以， ，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则 . 【答案】 【解析】，同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，基本事件有种， “蓝色骰子掷出的点数为3或6”且“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”的事件为： （红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝），共种， 所以，所以. 故答案为： 13．已知数列的前n项和，是等差数列，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意，知当时， 当时，；所以． 设数列的公差为，由，即，解得，所以． 14．高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为表示不超过的最大整数，所以， 解得，即 故不等式解集是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设函数． (1)求的单调区间； (2)比较与的大小； (3)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．(2) (3) 【解析】（1）的定义域为，（1分）．（2分） 当时，在单调递减（4分） 当时，在单调递增．（6分） 故单调递减区间为，单调递增区间为．（7分） （2）因为，所以由（1）知．（10分） （3）由（1）知（11分） 所以，得，即a的取值范围为．（13分） 16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下2×2列联表，并依据独立性检验，能否有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题，以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析；有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)，；(3)分布列见解析， 【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 （2分） 根据列联表的数据计算可得 ，（4分） 故有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（5分） （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，（6分） 故，（7分）；（8分） （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：（9分） ，（10分） ，（11分） ，（12分） （13分） 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得（15分） 17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接，. 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则.（2分） 因为，所以.（3分） 又为等边三角形，所以.（4分） 因为，，平面，所以平面.（5分） 因为平面，所以.（6分） （2）设四棱锥的高为， 由题设，得，则，（8分） 由题设知，所以底面.（9分） 如图所示，以点为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，.（10分） 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以；（12分） 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以.（13分） 设平面与平面的夹角为， 因为，所以，（14分） 即平面与平面的夹角正弦值为.（15分） 18．图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形． （Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%． （参考数据：，） 【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得，，．（2分） 当覆盖的等圆有层时，最下面一层的圆有个，相邻两圆的圆心距为，（2分） 最左边与最右边的两圆的圆心距为．（4分） 又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为，（5分） 则，∴．（8分） （Ⅱ）证明：被覆盖面积，（11分） 正三角形的面积．（12分） 被覆盖率，（16分） ∴对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．（17分） 19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆. (1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值． (2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）椭圆的标准方程为，则．（2分） 当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线的倾斜角不为,（2分） 设直线, 由,得， 则， 所以 , 又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 由，得， 代入，得，所以， 则点到直线的距离， 所以， 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以当，即时，的面积最小，最小值是； （2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1， 椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体， 构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体， 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为， 则，即，所以新几何体的截面面积为， 把代入，得，解得， 所以半椭球的截面面积为， 由祖暅原理，得椭球的体积. 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅱ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：高考命题趋势正在发生变化，题目呈现方式也在不断创新。命题上，高考题目正逐步减少对记忆性知识的考查，增加对学生应用能力、分析能力和创新能力的测试。2025年也将保持2024年试卷的题型格局和赋分方案，分别为单选题8个、多选题3个、填空题3个、解答题5个。同时，测试卷控制了阅读总量，减少了繁琐运算，科学设计了试卷的难度梯度，延续了“多考想的、少考算的”的考查理念，尤其体现在单选题和填空题最后一题上。 高考·新考法：创新题型潜藏于各类试题设计之中，由显性考核转变为隐性考核。2025年新定义（创新试题）可能出现在选择题，尤其是多选题的位置，值得注意的是，今年8省联考19题从创新题改为立体几何，并不意味着考试难度的降低。相反，这一变化可能是在为未来的新高考做铺垫，预示着立体几何将成为新的考查重点。而立体几何题目的创新设计，也将成为拉开尖子生差距的关键因素之一。 命题·大预测： （1）试题难度对学生会有明显分层，常规题难度进一步降低，平时认真学习的同学拿下100分将会更加容易。第8题难度比以往可能会有所降低，不一定是以压轴题的身份出现，大部分认真学习的同学都可以拿下。 （2） 前两道大题可能增加一问变成3问，进而计算量加大，得分点更加细化，这样会更加有利于中档学生得分。 （3） 压轴题很可能是11、13、14、18、19题，它侧重考察了尖子生的创新能力。高考的压轴题目有可能趋向于强基计划和竞赛的风格，这使得尖子生在解决压轴题目时更易凸显其差距。 对于2025年的备考，考生需要全面复习六大金刚——三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、概率与统计、导数，尖子生特别要加强对“立体几何+圆锥曲线”和“导数+数列”这两部分内容的复习。这两部分最有可能出现在今年创新题压轴，分值高。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数z满足，则|z|=（    ） A．1 B． C．2 D．2 3．点满足，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线 4．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 6．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率为，、为双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的一点，且的面积为3，则（   ） A． B． C． D． 8．在边长为3的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12 B．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 C．若随机变量服从二项分布，且，则 D．若随机变量服从正态分布，则 10．几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下： 张三：甲是第4名； 李四：乙不是第2或第4名； 王五：丙排在乙前面； 刘六：丁是第1名 已知只有一个人说假话，下列正确的是（    ）． A．丙是第1名 B．乙是第2名 C．丁是第3名 D．甲是第4名 11．已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则 . 13．已知数列的前n项和，是等差数列，且，则 ． 14．高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设函数． (1)求的单调区间； (2)比较与的大小； (3)若恒成立，求a的取值范围． 16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下2×2列联表，并依据独立性检验，能否有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题，以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值. 18．图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形． （Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%． （参考数据：，） 19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆. (1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值． (2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅱ卷） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C A B C C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．(2) (3) 【解析】（1）的定义域为，（1分）．（2分） 当时，在单调递减（4分） 当时，在单调递增．（6分） 故单调递减区间为，单调递增区间为．（7分） （2）因为，所以由（1）知．（10分） （3）由（1）知（11分） 所以，得，即a的取值范围为．（13分） 16．(15分）【答案】(1)列联表见解析；有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)，；(3)分布列见解析， 【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 （2分） 根据列联表的数据计算可得 ，（4分） 故有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（5分） （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，（6分） 故，（7分）；（8分） （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：（9分） ，（10分） ，（11分） ，（12分） （13分） 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得（15分） 17．(15分）【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接，. 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则.（2分） 因为，所以.（3分） 又为等边三角形，所以.（4分） 因为，，平面，所以平面.（5分） 因为平面，所以.（6分） （2）设四棱锥的高为， 由题设，得，则，（8分） 由题设知，所以底面.（9分） 如图所示，以点为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，.（10分） 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以；（12分） 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以.（13分） 设平面与平面的夹角为， 因为，所以，（14分） 即平面与平面的夹角正弦值为.（15分） 18．(17分）【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得，，．（2分） 当覆盖的等圆有层时，最下面一层的圆有个，相邻两圆的圆心距为，（2分） 最左边与最右边的两圆的圆心距为．（4分） 又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为，（5分） 则，∴．（8分） （Ⅱ）证明：被覆盖面积，（11分） 正三角形的面积．（12分） 被覆盖率，（16分） ∴对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．（17分） 19．(17分）【答案】(1)(2) 【解析】（1）椭圆的标准方程为，则．（2分） 当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线的倾斜角不为,（2分） 设直线, 由,得， 则， 所以 , 又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 由，得， 代入，得，所以， 则点到直线的距离， 所以， 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以当，即时，的面积最小，最小值是； （2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1， 椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体， 构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体， 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为， 则，即，所以新几何体的截面面积为， 把代入，得，解得， 所以半椭球的截面面积为， 由祖暅原理，得椭球的体积. 试卷第2页，共22页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$