精品解析：陕西省渭南市2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷（北师大版）

渭南市2024~2025学年度第一学期高一年级期末联考 数学试题（北师大版） 命题人：张增伟 李粉侠 岳丽 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 6. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 8. 设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 分层抽样调查后的样本中甲，乙，丙三种个体的比例为，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为0.4 C. 甲，乙两队队员体重的平均数分别为60，68，标准差分别为和2，人数之比为，则甲，乙两队全部队员体重的平均数为66，方差为 D. 一组数6，4，3，5，3，3，2，2，2，1的分位数为5 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数，则的值是__________. 13. 依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个______位数（附）. 14. 若对任意，不等式恒成立，则的最小值是__________． 15. 已知实数a，b满足，则______. 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）已知，求的值； （2）求值：． 17. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率. 19. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 20. 设函数（且）是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，求在上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市2024~2025学年度第一学期高一年级期末联考 数学试题（北师大版） 命题人：张增伟 李粉侠 岳丽 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由是上的偶函数，得，，再根据在上是增函数可逐项判断得出答案. 【详解】因为是上的偶函数，所以，， 且在上是增函数， 因为，所以A错误；因为，所以B错误； 因为，所以C错误；因为，所以D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系； （3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果. 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】∵，∴，∴； 又∵，当时，， ∴是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 5. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确. 【详解】依题意可得； 对于A，易知，即A正确； 对于B，依题意， 所以数据的方差为，即B错误； 对于C，由可得，即C正确； 对于D，由可得，‘ 即， 可得，即D正确. 故选：B 6. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论. 【详解】当时，函数过定点且单调递减， 则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，ABC不可能，D可能. 7. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出点坐标，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为10. 故选：B 8. 设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析分段函数的性质，画出草图，结合图形求得，进而可得，即可求范围. 【详解】当时， 当时，当且仅当时等号成立， 则，且在上递增，在上递减， 当时，单调递增，且，作出函数的图象，如下， 观察图象，当且仅当，函数有三个不同的零点， 当时，，当时，令，则，有，， 因此，而函数在上递减，则， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为与的交点问题，应用数形结合的思想，求出关于的解析式，由单调性求范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】取即知A错误；对于，可求得的范围，可知B正确；由子集概念与集合运算性质可知C正确；取即可知D错误； 【详解】解：对于A项：因为时，，所以命题“，”是假命题，故A错误； 对于B项：因为，，所以命题“，使得”是假命题，故B正确； 对于C项：，即是的充要条件，故C正确； 对于D项：因为当时，即，所以，所以，所以D错误； 故选：BC. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 分层抽样调查后的样本中甲，乙，丙三种个体的比例为，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为0.4 C. 甲，乙两队队员体重的平均数分别为60，68，标准差分别为和2，人数之比为，则甲，乙两队全部队员体重的平均数为66，方差为 D. 一组数6，4，3，5，3，3，2，2，2，1的分位数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出频率判断B；利用分层抽样平均数、方差公式计算判断C；求出第85百分位数判断D. 【详解】对于A，依题意，样本容量为，A错误； 对于B，样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，因此频率为，B正确； 对于C，两队全部队员体重的平均数为， 方差为，C正确； 对于D，将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由， 得该组数据的分位数是第9个数5，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D. 【详解】由，得， 函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标， 如图，作出函数的图象. 如图，，且， 对于A，由，得， 整理得，即，则，故A正确； 对于B，由，得， 则，整理得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得， 则，， 因函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，因此，故C正确； 对于D，方程，即，令，则，而， ①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根； ②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根； 有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根； ③若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有10个不相等的实根； ④若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，或或均有3个不相等的实根， 因此方程有9个不相等的实根； ⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：， 且无实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有6个不相等的实根； 综上，方程最多有10个不同的实根，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： ①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； ②分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 13. 依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个______位数（附）. 【答案】 【解析】 【分析】利用位数的定义，结合对数运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 则，所以是位数. 故答案为：. 14. 若对任意，不等式恒成立，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最大值即得. 【详解】任意，不等式， 而，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值是. 故答案为： 15. 已知实数a，b满足，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）已知，求的值； （2）求值：． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算化简计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【详解】（1）由，得. （2）. 17. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求； （2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或； （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以A. 当时，符合题意，此时有，解得：a<0. 当时，要使A，只需，解得： 综上：a<1. 即实数的取值范围. 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率. 【答案】（1）． （2）平均数为，中位数为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率； （2）用每组数据中点值乘以相应频率相加即得平均数，由中位数对应频率为确定中位数中第4组，然后计算可得； （3）确定第8组有2人，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率． 【小问1详解】 第七组频率为； 【小问2详解】 平均数为, 前4组的频率和为，第4组频率为，中位数在第4组， 设中位数为， 则，解得； 【小问3详解】 由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为， 任选2人，样本空间为，有15个样本点， 其中两名男生在同一组的样本点为共7个 所以所求概率为． 19. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】（1）选择函数模型①， （2） （i），在上单调递增. （ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地. 设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为. 若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，则， 所以总时间 当且仅当，即时，等号成立， 所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为. 【解析】 【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解. 【小问1详解】 与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型① 由题意，有解得 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，， 所以函数在上单调递增. （ii）略 20. 设函数（且）是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，求在上的最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）奇函数，由求的值； （2）求实数a的范围，判断函数单调性，不等式利用单调性和奇偶性去函数符号，转化为二次函数恒成立问题； （3）求实数a的值，构造新函数讨论单调性解最小值. 【小问1详解】 是定义在上，，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 若，则，结合且，解得， 时，函数为增函数，函数为减函数， 则为单调递增函数， 等价于， 可得，依题意则有对一切恒成立， 则，解得 即实数的取值范围为 【小问3详解】 函数的图象过点，，结合且，解得， ， 设，由（2）知为单调递增函数，所以当时，， 记，， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递增，； 所以当时，最小值为；当时，最小值为； 当时，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $