第16章 相交线与平行线压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

第16章 相交线与平行线压轴训练 一、选择压轴 1．如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的是（　  ）． A．① B．② C．③ D．④ 3．把一个含角的直角三角尺和一把直尺如图放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 二、填空压轴 6．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    7．如图，已知条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能够判定直线的是 ．（只填序号） 8．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 9．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 10．如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 11．如图，将一副三角板的直角顶点A重合，则下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中所有正确的结论序号有 ． 12．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 13．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 14．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 15．已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 三、解答压轴 16．已知，，平分，依题意补全图形并求的度数． 17．如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且． (1)求的度数； (2)试说明的理由． 18．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 19．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 20．如图，在四边形中，，且平分，与互余．若，求的度数．阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（__________）． 因为（已知）， 所以， 所以__________°（__________）． 因为平分（已知）， 所以__________°（角平分线的定义）． 因为， 所以__________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以__________°． 21．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 22．如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 24．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 25．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 4 / 8学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 相交线与平行线压轴训练 一、选择压轴 1．如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 2．如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的是（　  ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：①∵， ∴，故该项不能证明； ②∵， ∴，故该项不能证明； 过点F作， 则：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故该项能证明； ④∵，， ∴，即， ∴该项不能证明． 综上可知只有③能证明． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定定理和作出常用的辅助线是解题关键． 3．把一个含角的直角三角尺和一把直尺如图放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 4．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； 同理得：； ； …… ∴， 故选：C． 二、填空压轴 6．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 7．如图，已知条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】② 【详解】解：①∵， ∴， 故①能够判定直线，不符合题意； ②不能判定，故②符合题意； ③∵， ∴， 故③能够判定直线，不符合题意； ④∵， ∴， 故④能够判定直线，不符合题意； ⑤∵，， ∴， ∴∴， 故⑤能够判定直线，不符合题意； ⑥过点B作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故⑥能够判定直线，不符合题意； 综上：能够判定直线的有：①③④⑤⑥． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行． 8．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：∵， ∴，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 如图，过点作， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，则结论②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， 由①②可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，但根据已知条件不能得出， ∴假设不成立，即结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 9．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行；． 11．如图，将一副三角板的直角顶点A重合，则下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中所有正确的结论序号有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：如图1，如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故结论②正确，符合题意； 如图2，如果 ∴， ∵， ∴， 故结论③正确，符合题意； 要使，需有， 则需有， 即， 则此时，， 则， 故结论④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 12．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 13．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 14．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5 【详解】解：①当时，如图， 则：， ∴， ∴； ②当时，此时， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当时，则：， ∴； ⑤当时，则：， ∴； 综上：0.5或1.5或3.5或4.5或5； 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 15．已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答压轴 16．已知，，平分，依题意补全图形并求的度数． 【答案】补全图形见解析，或 【详解】解：当在内部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴的度数或． 17．如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且． (1)求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 18．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 19．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 20．如图，在四边形中，，且平分，与互余．若，求的度数．阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（__________）． 因为（已知）， 所以， 所以__________°（__________）． 因为平分（已知）， 所以__________°（角平分线的定义）． 因为， 所以__________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以__________°． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；40；两直线平行，内错角相等；80；；100 【详解】解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 故答案为∶同旁内角互补，两直线平行；40；两直线平行，内错角相等；80；；100． 21．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 22．如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】(1) (2)或 (3)秒或秒或 秒或秒 【详解】（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 24．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 25．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 4 / 33学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$