专题04 平行线模型及动态问题（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题04 平行线模型及动态问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、猪蹄模型 2 类型二、铅笔头模型 6 类型三、拐弯模型 9 类型四、“5”字模型 13 类型五、旋转问题 18 类型六、动点问题 24 压轴能力测评 29 一、猪蹄模型（M型） 图①可得：已知，结论：； 已知，结论：. 图②可得：已知，结论：. 二、铅笔头模型 图①可得：已知，结论：； ②已知，结论：. 图① 图② 图②可得：已知，结论：. 三、拐弯模型 类型1（鸟嘴形）：如图，已知，结论：. 类型2（骨折形）：如图，，结论：. 四、“5”字模型 如图，，结论：. 类型一、猪蹄模型 【例1】如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【例2】如图，，，，则 °． 【答案】25 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 【变式1-2】如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 【答案】20 【详解】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 【变式1-3】如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 类型二、铅笔头模型 【例3】已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 【例4】如图，如果，那么 ． 【答案】540 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 【变式2-1】如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过N点作，则，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，，，，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过作，   ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【变式2-3】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 类型三、拐弯模型 【例5】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【例6】如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作交于点D． 中，， ． ， ． ，， ， ， ， 故按为：． 【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式3-1】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【答案】57° 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 【变式3-2】按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则：①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．以上结论正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：∵AC'BD'，∠EFB＝32° ∴∠C′EF＝∠EFB＝32°， 故①正确； 由折叠可知，∠CEF＝∠C'EF＝32°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CEF﹣∠C'EF＝116°， 故②错误； ∵AC'BD'，∠AEC＝116°， ∴∠BGE＝180°﹣∠AEC＝64°， 故③正确； ∵CEDF，且∠BGE＝∠CGF＝64°， ∴∠BFD＝180°﹣∠CGF＝116°， 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及翻折变换，熟练掌握平行线性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是关键． 【变式3-3】如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数． 解：过点C作FG∥AB 因为FG∥AB，AB∥DE（已知） 所以FG∥DE（　 　） 所以∠B＝∠　 　（　 　） ∠CDE+∠DCF＝180°（　 　） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知） 所以∠　 　＝80°（等量代换） ∠DCF＝40°（等式性质）                   所以∠BCD＝　 　． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°． 【详解】解：过点C作FG∥AB， 因为FG∥AB，AB∥DE，（已知） 所以 FG∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ） ∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知） 所以∠BCF＝80°，（等量代换） ∠DCF＝40°，（等式性质） 所以∠BCD＝40°． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°． 【点睛】本题利用了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 类型四、“5”字模型 【例7】如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 【例8】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式4-1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长、交于点D，如图所示：   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式4-2】如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 【答案】C 【详解】解：过C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等． 【变式4-3】如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 类型五、旋转问题 【例9】如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 【例10】如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知 即直线绕点按逆时针方向至少旋转 故选择：D 【变式5-1】如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析 (3)6或15 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线平分； （3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴旋转角度为， ∴； 当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴此时旋转的角度为， ∴； 综上所述，t的值为6或15． 【变式5-2】如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 【答案】、或 【详解】射线运动时间为， 根据题意，当射线顺时针旋转时，如图所示： ∵ , ， ， ， ， ∵则 ∴， ， 解得 ； 当射线逆时针旋转时，，如图所示： 则， ，解得 ； 当射线再次顺时针旋转时，，如图所示： 则， ∴，解得 ； 故答案为：、或 【变式5-3】一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 【答案】 15 或或 【详解】解：（1）如图，当时， ， ， ， 点与点重合， 三点共线，即如图， ； 故答案为：15； （2）如图，当时，； 如图，当时， ， ， ； 当时，如图， ， ， ． 符合条件的度数为或或， 故答案为：或或 类型六、动点问题 【例11】如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． (1)如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； (2)如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①在点左边时，；②在点右边时， 【详解】（1）解：（）如图，过点作的平行线， ， ， 又， ， ， ． （2）解：①在点左边时，如下图，，理由如下： 过点作，则， ∴,, ∴； 同理：②在点右边时，如下图，． 【例12】如图，直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，当点平移至点时停止运动．若，当点恰好是线段三等分点时，四边形的面积为，那么平移的距离是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形， 平移的距离为，，， ， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 综上所述，平移的距离为或． 故选：B． 【变式6-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式6-2】如图1，在四边形中，点在上，连接．若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点在延长线上运动，连接，的平分线交于点．当时，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，． 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)① ② ③ 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ； ②平分，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如下图：当点D在点C 右侧时，，， ， ， ，， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点C 左侧、在点A右侧时，，， ， ， ，， ， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点A左侧时，，， ， ，， ， 平分， ，即； 1．如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个． 故选：B． 2．如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 【答案】#100度 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，，平分，平分，则 ． 【答案】/90度 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：．    7．将一副常用的三角板（中，，中，）按如图① 方式放置，如图② 将绕点按逆时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图① 中，的大小为______； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为：，， 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：第一种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第四种情况：如图所示，， ∴， ∴旋转角度为：， ∴， ∵， ∴第四种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的值为：，，． 8．如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． (1)、、之间的关系为 　　； (2)如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； (3)如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）证明：如图1，过点作， （两直线平行，内错角相等）， ∵，，（已知）， ∴，（平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）； （2）解：、、之间的关系不发生变化；理由如下： 点在、两点之间运动，由（1）同理可得： ； （3）或． 解：过点P作， ∵， ∴； 当点P在延长线上时，如左图， 则，， ∴， 即； 当点P在延长线上时，如右图， ∵， ∴，， ∴， 即； 综上，或． 9．如图，已知直线，直线c和直线a、b相交于点C、D．    (1)有怎样的数量关系？说明你的理由； (2)如果点M在C、D之间运动，这种关系是否会发生变化？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)不发生变化 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作，      ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）点M在C、D之间运动，这种关系是不会发生变化，证明如下： 如图，过点作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 【答案】(1)互相垂直 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴与的位置关系为：互相垂直； （2）与的关系：。 理由：如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， ∴。 11．如图，将一张上、下两边平行（即）的纸带沿直线折叠，为折痕．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 12．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 13．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线模型及动态问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、猪蹄模型 2 类型二、铅笔头模型 3 类型三、拐弯模型 5 类型四、“5”字模型 6 类型五、旋转问题 7 类型六、动点问题 9 压轴能力测评 11 一、猪蹄模型（M型） 图①可得：已知，结论：； 已知，结论：. 图②可得：已知，结论：. 二、铅笔头模型 图①可得：已知，结论：； ②已知，结论：. 图① 图② 图②可得：已知，结论：. 三、拐弯模型 类型1（鸟嘴形）：如图，已知，结论：. 类型2（骨折形）：如图，，结论：. 四、“5”字模型 如图，，结论：. 类型一、猪蹄模型 【例1】如图，，，则，和的数量关系是 ．    【例2】如图，，，，则 °． 【变式1-1】如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 【变式1-3】如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 类型二、铅笔头模型 【例3】已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，如果，那么 ． 【变式2-1】如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，，，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 类型三、拐弯模型 【例5】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为 ． 【变式3-1】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【变式3-2】按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则：①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．以上结论正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【变式3-3】如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数． 解：过点C作FG∥AB 因为FG∥AB，AB∥DE（已知） 所以FG∥DE（　 　） 所以∠B＝∠　 　（　 　） ∠CDE+∠DCF＝180°（　 　） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知） 所以∠　 　＝80°（等量代换） ∠DCF＝40°（等式性质）                   所以∠BCD＝　 　． 类型四、“5”字模型 【例7】如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【例8】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式4-1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 【变式4-3】如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 类型五、旋转问题 【例9】如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【例10】如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【变式5-2】如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 【变式5-3】一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 类型六、动点问题 【例11】如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． (1)如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； (2)如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 【例12】如图，直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，当点平移至点时停止运动．若，当点恰好是线段三等分点时，四边形的面积为，那么平移的距离是（    ） A． B．或 C． D． 【变式6-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图1，在四边形中，点在上，连接．若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点在延长线上运动，连接，的平分线交于点．当时，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 1．如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 3．如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 5．如图，，平分，平分，则 ． 6．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    7．将一副常用的三角板（中，，中，）按如图① 方式放置，如图② 将绕点按逆时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图① 中，的大小为______； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 8．如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． (1)、、之间的关系为 　　； (2)如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； (3)如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 9．如图，已知直线，直线c和直线a、b相交于点C、D．    (1)有怎样的数量关系？说明你的理由； (2)如果点M在C、D之间运动，这种关系是否会发生变化？ 10．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 11．如图，将一张上、下两边平行（即）的纸带沿直线折叠，为折痕．试说明：． 12．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 13．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$