黄金卷02（湖北武汉专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖北专用）

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D C B D A A A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13．6或 14． 15．3 7.5 16. 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． 【详解】解： 解不等式①得：，（2分） 解不等式②得：，（4分） 不等式组的解集为：-2≤x<1,（6分） 在数轴上表示为：   （8分） 【点睛】题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中，，（4分） ∴， ∴．（8分） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质． 19． 【详解】（1）解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第和个数为和， ， 八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为， ， 七年级学生的优秀率为， 故答案为：，，；（3分） （2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为为大于七年级竞赛成绩的中位数， 八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；（5分） （3）解：（人）， 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人．（8分） 20． 【详解】（1）解：如图1中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求， ， 点是的中点， 点是的中点， 是△ABC的中位线， ， ， 故答案为：．（2分） （2）解：如图2中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求； （5分） （3）解：如图3中， 延长交弧于点，射线即为所求． （8分） 21． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ；（2分） （2）解：四边形是矩形， ， 为圆的直径， ， ． 矩形中，，， ． ， ， ， ；（4分） （3）解：①当时，过点作于点，如图， ， ， ，， ， ， 由（2）知：， 的面积 ；（6分） ②当时，过点作于点，如图， ， ． ，， ， ． 由（2）知：， ，， ． ， ． 的面积 ． 综上，的面积为或．（8分） 22． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的表达式为，将点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为；（3分） （2）解：由题可知点坐标为， 设直线的函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为；（7分） （3）解：设喷射架向后平移了米， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或(不合，舍去)， ∴喷射架应向后移动米， 故答案为：．（10分） 23． 【详解】（1）解：①如图2中， 由旋转可知： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， （2分） ②，， ， ， ， ； 故答案为：，；（4分） （2）解：如图3中， 过点 D作于 M， 过点A 作 与 N． 是由 绕点 C 旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图4中， 作交于 F． 延长交于 H． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 作点F关于的对称点， 连接 ， ， 在中， ， ， 综上所述，满足条件的的值为： 或 ．（10分） 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，等边三角形性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 24． 【详解】（1）解：（）由题意得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点， ∵将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即；（4分） （2）解：连接， ∵，顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵轴，点在直线 上，点在直线上， ∴，且点关于轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，可知最小，此时， ∵， ∴的最小值为；（8分） （3）解：把代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为， 由得，， 当直线与抛物线交点的横、纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∵， ∴或； 由得，， 当直线与抛物线交点的横、纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∴或； 综上，， ∴点的坐标为， 当点的坐标为时，， ∵时，， ∴点在直线上， ∴ ，符合题意， 故答案为：．（12分） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，关于原点对称的点的坐标特征，一次函数的平移，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，6，15%中，负分数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查负分数的概念，根据定义即可求解，解题的关键是“正分数前面加负号的数是负分数” ． 【详解】解：根据负分数的定义得，，都是负分数，有2个， 故选：A． 2．随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．如图所示，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份．若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】白色区域经过旋转之后为整个圆面面积的一半，故所求概率为，故选D. 4．当时,式子的值是（    ） A． B．2 C．1 D．－1 【答案】C 【解析】将带入可得，原式=9-8-0=1，故选C. 5．如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何图形的旋转和三视图，要熟记把一个直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得的几何体是一个圆锥，则一个直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，旋转后的几何体应该是两个圆锥，而且还是底面对着底面的圆锥，所以它的俯视图是一个圆，且有圆心． 【详解】解：以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体，如图所示： ∴俯视图是 故选：B． 6．已知反比例函数，则下列描述不正确的是(   ) A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，随增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析是解题关键． 【详解】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意； B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意； C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意； D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意； 故选：D． 7．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．    D．       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 8．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【详解】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值为，的最小值为． ，， ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值，的最小值为 与的最大值相等，与的最小值也相等 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 9．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定性质，利用证明，确定点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上，根据圆的性质确定最值，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上， 连接，交弧于点G， 当点P与点G重合时，取得最小值， ∵ ∴， 故选：A． 10．如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】由余角的性质可得，即，故①正确；由正方形的性质可得，，可得，可证，故④正确；先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证，可得，则，故③正确；通过得到，即可判断②，通过不妨设，最终算出，，比较即可判断⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，为的中点， ， ， ， ， ，故①正确； 为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ， ， ， 不是等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，故④正确； ， 四边形是平行四边形， ，； ， ∴， 平分， ， 又， ， ， ，故③正确； ∵ ∴ 不妨设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误， 故正确的有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，灵活应用知识点间的联系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．比较大小： 3（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，根据此可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定的值以及的值是解本题的关键． 13．在中，，，点D是边上一点，，，则 ． 【答案】6或 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： ∵， 在中，， ∴， 设， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，或， 当时，， ， ， ， ，即， ， 当时，， 同理：，即， ． 综上所述：或， 故答案为：或． 14．如图，在平面直角坐标系中，点．．．都在x轴上，点．．．都在直线上，．．．都是等腰直角三角形，且，则点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律． 由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点的坐标． 【详解】解：∵， ∴点的坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 15．如图1是一路灯，图2为该路灯在铅锤面内的示意图，为灯柱，点B为灯所在的位置，路灯采用锥形灯罩，为路灯在地面的照射范围，光线与灯柱交于点G．现测得灯的高度，，，则在地面上的影长为 m．若，则路灯的照射范围长为 m． 【答案】 3 7.5 【分析】作于点H，由勾股定理求出，在中求出，由可求出，然后利用勾股定理列方程求出，进而可求出的长． 【详解】作于点H， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3，7.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16．如图，在△ABC中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作于点，于点，设，由折叠性质得到：，得到，从而推出，由三角形的中位线定理得到：，根据题意可得，从而推出四边形是正方形，得出，，最后用勾股定理即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，过点作于点，于点．    设，，则． ， ，，． 又由折叠得，， ， ，即， ， 解得：， ， 是中点，， 是的中位线， ， ， 由折叠知，， 在和中， ， ， ． ， ， ． 又，且， ， ， 四边形是正方形， ， ． 在中，， ， 解得：， ，，即，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】-2≤x<1，数轴见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可 【详解】解： 解不等式①得：，（2分） 解不等式②得：，（4分） 不等式组的解集为：-2≤x<1,（6分） 在数轴上表示为：   （8分） 【点睛】题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．已知：如图，是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由，结合三角形外角，可得，进而可证，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中，，（4分） ∴， ∴．（8分） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质． 19．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 (1)填空： ______， ______， ______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】(1)，， (2)八年级对“防灾减灾”的了解情况更好，理由见解析 (3)两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的概念，求得，，利用七年级、两类的人数和除以总人数求得，即可解答； （2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可； （3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第和个数为和， ， 八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为， ， 七年级学生的优秀率为， 故答案为：，，；（3分） （2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为为大于七年级竞赛成绩的中位数， 八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；（5分） （3）解：（人）， 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人．（8分） 20．如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) (1)在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． (2)在图2中，作△ABC中边上的中线． (3)在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的中线，角平分线，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂径定理可知点是的中点，与中间的横线交点为，连接可得，再运用垂径定理和三角形中位线定理即可得出答案； （2）与、之间最中间的横线的交点即的中点，连接，线段为中边上的中线； （3）连接并延长交于，连接，则射线为的平分线． 【详解】（1）解：如图1中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求， ， 点是的中点， 点是的中点， 是△ABC的中位线， ， ， 故答案为：．（2分） （2）解：如图2中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求； （5分） （3）解：如图3中， 延长交弧于点，射线即为所求． （8分） 21．如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理了，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． （1）利用矩形的性质，平行线的性质，圆周角定理解答即可； （2）利用矩形的性质和圆周角定理的推论得到为圆的直径，再利用垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）利用等腰三角形的性质和分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，利用等腰三角形的性质，对顶角的性质，圆周角定理得到，利用（2）的结论求得边上的高，再利用三角形的面积公式解答即可；②当时，过点作于点，利用①的方法解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ；（2分） （2）解：四边形是矩形， ， 为圆的直径， ， ． 矩形中，，， ． ， ， ， ；（4分） （3）解：①当时，过点作于点，如图， ， ， ，， ， ， 由（2）知：， 的面积 ；（6分） ②当时，过点作于点，如图， ， ． ，， ， ． 由（2）知：， ，， ． ， ． 的面积 ． 综上，的面积为或．（8分） 22．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)求抛物线的解析式． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． (3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由题可知抛物线的顶点坐标为，进而利用待定系数法解答即可求解； （）先求出斜坡的高度的解析式，列出，再根据函数的性质解答即可求解； （）设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的表达式为，将点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为；（3分） （2）解：由题可知点坐标为， 设直线的函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为；（7分） （3）解：设喷射架向后平移了米， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或(不合，舍去)， ∴喷射架应向后移动米， 故答案为：．（10分） 23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． (1)操作发现∶ 如图2，固定△ABC，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶ ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． (2)猜想论证∶ 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 【答案】(1)①  ② (2)见解析 (3)存在； 或 【分析】（1）①根据旋转的性质结合、的大小可得是等边三角形，从而可得； ②根据等边三角形性质和角所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可得即； （2）过点 D作于 M， 过点A 作 与 N，根据旋转的性质易证，可得，结合，即可证得； （3）作交于 F． 延长交于 H，可得四边形是平行四边形，从而可得，结合角平分线性质和，可得四边形是菱形，再根据勾股定理可求得菱形边长，得出第一种情况，根据图形可知点F的情况存在两种，结合平行线的性质和锐角三角函数即可求得另一种情况下的长． 【详解】（1）解：①如图2中， 由旋转可知： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， （2分） ②，， ， ， ， ； 故答案为：，；（4分） （2）解：如图3中， 过点 D作于 M， 过点A 作 与 N． 是由 绕点 C 旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图4中， 作交于 F． 延长交于 H． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 作点F关于的对称点， 连接 ， ， 在中， ， ， 综上所述，满足条件的的值为： 或 ．（10分） 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，等边三角形性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 24．如图， 已知抛物线 与轴交于点，与轴交于点 其对称轴为直线 ，顶点为 ，将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线 与 轴交于点，对称轴为直线 ，与轴在对称轴左侧的交点为． (1)试求抛物线和抛物线的解析式； (2)在图中，点的坐标为，动点在直线 上，过点作轴与直线交于点， 连接， 求的最小值； (3)如图，将直线沿轴平移，交轴于点，当点在线段上运动(包括端点)， 的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点的坐标为 . 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法可求出的解析式，可得点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得抛物线的顶点坐标，进而即可求解； （）连接，由解析式可得，对称轴为直线，进而可得，点关于轴对称，得到，可知当点三点共线时，可知最小，此时，利用勾股定理求出即可求解； （）求出点坐标，可得直线的解析式为，设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为，由得或；由得或，综上可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：（）由题意得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点， ∵将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即；（4分） （2）解：连接， ∵，顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵轴，点在直线 上，点在直线上， ∴，且点关于轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，可知最小，此时， ∵， ∴的最小值为；（8分） （3）解：把代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为， 由得，， 当直线与抛物线交点的横、纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∵， ∴或； 由得，， 当直线与抛物线交点的横、纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∴或； 综上，， ∴点的坐标为， 当点的坐标为时，， ∵时，， ∴点在直线上， ∴ ，符合题意， 故答案为：．（12分） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，关于原点对称的点的坐标特征，一次函数的平移，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（武汉专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，6，15%中，负分数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 3．如图所示，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份．若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 4．当时,式子的值是（    ） A． B．2 C．1 D．－1 5．如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，则下列描述不正确的是(   ) A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 7．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．    D．       8．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 9．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．比较大小： 3（填“”“”或“”） 12．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示 ． 13．在中，，，点D是边上一点，，，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点．．．都在x轴上，点．．．都在直线上，．．．都是等腰直角三角形，且，则点的坐标 ． 15．如图1是一路灯，图2为该路灯在铅锤面内的示意图，为灯柱，点B为灯所在的位置，路灯采用锥形灯罩，为路灯在地面的照射范围，光线与灯柱交于点G．现测得灯的高度，，，则在地面上的影长为 m．若，则路灯的照射范围长为 m． 16．如图，在△ABC中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．    三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．已知：如图，是上一点，，，．求证：． 19．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 (1)填空： ______， ______， ______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 20．如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) (1)在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． (2)在图2中，作△ABC中边上的中线． (3)在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 21．如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 22．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)求抛物线的解析式． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． (3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． (1)操作发现∶ 如图2，固定△ABC，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶ ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． (2)猜想论证∶ 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 24．如图， 已知抛物线 与轴交于点，与轴交于点 其对称轴为直线 ，顶点为 ，将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线 与 轴交于点，对称轴为直线 ，与轴在对称轴左侧的交点为． (1)试求抛物线和抛物线的解析式； (2)在图中，点的坐标为，动点在直线 上，过点作轴与直线交于点， 连接， 求的最小值； (3)如图，将直线沿轴平移，交轴于点，当点在线段上运动(包括端点)， 的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点的坐标为 . 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$