黄金卷01（湖北专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖北专用）

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖北专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列四个校徽中的图案是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．已知，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 5．下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 6．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．有以下结论：①；②'；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是（    ） A． B． C．12 D．13 10．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若分式的值为0，则x的值为 ． 12．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 13．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 14．若实数a，b满足，则 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．按要求求解： (1)计算： (2)因式分解： (3)解分式方程： 17．如图，在△ABC中，于点，于点，交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)画出△ABC，并作出△ABC关于原点对称的； (2)作出△ABC绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 19．克拉玛依市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查，经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，的值为______，组对应的扇形圆心角的度数为______； (3)现从组甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行研学宣讲，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 20．如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 21．如图所示，四边形为内接四边形，，，点E为上一点，且． (1)尺规作图：作线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：； (3)若，求的面积． 22．北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 23．如图，在等腰直角△ABC中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． (1)【特值尝试】若，则___________，___________； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为D’，当在的外接圆上时，求此时的面积． 24．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖北专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键：正实数负实数，两个负实数，绝对值大的反而小． 根据实数大小的比较方法进行判断即可． 【详解】解：， 四个实数中，最小的数是， 故选∶A． 2．下列四个校徽中的图案是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．已知，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，求该不等式的解集即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 4．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算．先将整理成，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 5．下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A．水滴石穿，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1； C．守株待兔，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； D．水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为0． ∴发生概率最小的是水中捞月， 故选：D． 6．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ， ， ， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．有以下结论：①；②'；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键． 根据旋转的性质可得：、，再根据旋转角的度数为，然后通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，故①正确； ②∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ． ∵， ， ∵， ∴． ∴，故②正确； ③在中，，， ． ． ∴不成立，故③不正确； ④在中，，， ． ，故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选B． 8．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 则． ∵点坐标为，点坐标为， ， 根据旋转可知：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是（    ） A． B． C．12 D．13 【答案】B 【分析】将延长至，使,作于,根据相关线段等量关系判断出为等腰三角形，从而算出的长度，再根据三角函数算． 【详解】   如图：将延长至，使,作于 ∵四边形内接于 ∴ ∵弦平分 ∴ ， 又∵ ∴ ∴ ， ∴ 是等腰三角形 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】辅助线构造全等是本题解题的关键，同时注意等腰三角形三线合一以及三角函数的灵活应用． 10．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． ①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断；⑥方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，画出分析，根据对称性求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 顶点在y轴右侧，则， 抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，且开口向上， ∴离对称轴水平距离越大，函数值越大， ∵点与点，， ∴，故③错误； 当时，， ∵当时，， ∴当时，， 即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确； 对应的函数值为， 对应的函数值为， 又∵时函数取得最小值， ∴，即， ∵对称轴为， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，如图，可画出函数图象，令函数图象与函数图象交点依次为， ∵方程有4个根， ∴，函数图象与函数图象有4个交点， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 即，故⑥正确， ∴正确的为②④⑤⑥， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：． 12．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：将代入得，解得：， 所以A点坐标为， 所以方程组的解是， 故答案为：． 13．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 【答案】6.3 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可。 【详解】根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：6.3 14．若实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，非负数的性质，根据题意列出方程组，求得的值是解题的关键．根据平方的非负性以及算术平方根的非负性确定的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．按要求求解： (1)计算： (2)因式分解： (3)解分式方程： 【答案】(1) (2) (3)方程无解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解以及解分式方程． （1）按照多项式乘以多项式计算即可． （2）利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可． （3）按照解分式方程的步骤解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： （2分） （2）解： （4分） （3）解： 去分母得：， 移项合并得：， 经检验是增根， 分式方程无解．（6分） 17．如图，在△ABC中，于点，于点，交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由于点于点，交于点，得，则，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在和中， ， ∴．（3分） （2）解：由（1）得， ， ， ，，， ， ， ， ∴的长为5．（6分） 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)画出△ABC，并作出△ABC关于原点对称的； (2)作出△ABC绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转作图，解题的关键是作出三角形三个顶点的对应点． （1）先在坐标系中作点A、B、C，然后顺次连接即可得出，作出点A、B、C关于原点的对称点，然后再顺次连接即可； （2）作出点B、C绕点A逆时针旋转后的对应点，然后再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，、为所求作的三角形； （3分） （2）解：如图，为所求作的三角形，根据图可知：． （7分） 19．克拉玛依市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查，经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，的值为______，组对应的扇形圆心角的度数为______； (3)现从组甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行研学宣讲，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】(1)作图见解析； (2)；； (3) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，列表法与树状图法求概率， （1）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出组的人数，从而补全统计图； （2）用组的人数除以总人数，求出，再用乘以组所占的百分比，从而得出组对应的扇形圆心角的度数； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好选中甲、乙两名同学的结果数，然后利用概率公式求解； 解题的关键是掌握：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用根据“概率公式：”计算事件的概率． 【详解】（1）解：抽取的总人数有：（人）， ∴组的人数有：（人）， 补全统计图如下： （3分） （2）∵， ∴， 组对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；；（5分） （3）画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果数为， ∴所选的两人恰好是甲、乙两名同学的概率为：， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．（7分） 20．如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度约为16米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角、俯角的意义是解题的关键；延长，交的延长线于点C，由题意易得，，，，然后根据三角函数可进行求解 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点C， 由题意知，，，，． 在中，， ∴．（4分） 在中，． ∴．（8分） 答：教学楼的高度约为16米． 21．如图所示，四边形为内接四边形，，，点E为上一点，且． (1)尺规作图：作线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等内容． （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则线段即为所求； （2）由题易知，要证，实则可证，通过同弧所对的圆周角可证出①，②，，再结合推出的，导角可得，进而即可得证； （3）作，则经过圆心，设，分别在和中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：解：如图所示，点E即为所求； 作法：以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则线段即为所求；（2分） （2）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（5分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直径， ∴， 过D作于点H， ∵， ∴， ∴过点圆心O， 设， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴．（8分） 22．北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，则（不合题意，舍去）或，则．令，则，即，即可求解； （3）由，得到，则，进而求解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为；（3分） （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，则（不合题意，舍去）或． ． 又当天跳水比赛的抛物线为， 令，则（不合题意的值已舍去）， 即；（7分） （3）解：， 即， 则， 当时，， 解得：．（10分） 23．如图，在等腰直角△ABC中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． (1)【特值尝试】若，则___________，___________； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为D’，当在的外接圆上时，求此时的面积． 【答案】(1)，； (2)关于的函数表达式为，此时的面积为． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）画出符合题意的图形，利用直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的性质得到,过点作于点,过点作,交的延长线于点,利用全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质求得,,再利用三角形的面积公式解答即可得出结论：由知：,则点为的外接圆的圆心，利用求临界值的方法求得当点关于直线的对称点为在的外接圆上时的值，连接交于点,则垂直平分,即,利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理解答求得值，代入式即可. 【详解】（1）解：，，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，, , , ， 为等腰直角三角形，, ,， ， , , 为的中点， , ， , ， ,,， , , 故答案为：，；（4分） （2）解：由（1）知， , ， 如图，过点作于点,过点作,交的延长线于点, , ， , , ， 在和中, , , ，, ， 四边形为矩形, , ， ， 是线段上一个动点，， 时， 关于的函数表达式为，（8分） 由知：, 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， ， 连接交于点,则垂直平分,即, , , ， ， , , ， 或， 或， 由知，， ， , 此时的面积为．（11分） 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，添加活当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)函数的等值点坐标为， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． （1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可； （2）根据“等值点”的定义建立方程，再根据图象上只有一个等值点求解即可； （3）由函数的等值点坐标为，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，；（4分） （2）解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或；（8分） （3）解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或．（12分） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖北专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D B D C B B B C 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11． 12． 13．6.3 14． 15． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 【详解】（1）解： （2分） （2）解： （4分） （3）解： 去分母得：， 移项合并得：， 经检验是增根， 分式方程无解．（6分） 17． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在和中， ， ∴．（3分） （2）解：由（1）得， ， ， ，，， ， ， ， ∴的长为5．（6分） 18． 【详解】（1）解：如图，、为所求作的三角形； （3分） （2）解：如图，为所求作的三角形，根据图可知：． （7分） 19． 【详解】（1）解：抽取的总人数有：（人）， ∴组的人数有：（人）， 补全统计图如下： （3分） （2）∵， ∴， 组对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；；（5分） （3）画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果数为， ∴所选的两人恰好是甲、乙两名同学的概率为：， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．（7分） 20． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点C， 由题意知，，，，． 在中，， ∴．（4分） 在中，． ∴．（8分） 答：教学楼的高度约为16米． 21． 【详解】（1）解：解：如图所示，点E即为所求； 作法：以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则线段即为所求；（2分） （2）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（5分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直径， ∴， 过D作于点H， ∵， ∴， ∴过点圆心O， 设， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴．（8分） 22． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为；（3分） （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，则（不合题意，舍去）或． ． 又当天跳水比赛的抛物线为， 令，则（不合题意的值已舍去）， 即；（7分） （3）解：， 即， 则， 当时，， 解得：．（10分） 23． 【详解】（1）解：，，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，, , , ， 为等腰直角三角形，, ,， ， , , 为的中点， , ， , ， ,,， , , 故答案为：，；（4分） （2）解：由（1）知， , ， 如图，过点作于点,过点作,交的延长线于点, , ， , , ， 在和中, , , ，, ， 四边形为矩形, , ， ， 是线段上一个动点，， 时， 关于的函数表达式为，（8分） 由知：, 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， ， 连接交于点,则垂直平分,即, , , ， ， , , ， 或， 或， 由知，， ， , 此时的面积为．（11分） 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，添加活当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，；（4分） （2）解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或；（8分） （3）解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或．（12分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$