数学（湖北卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（湖北卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列为无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B．3 C．0 D．1 5．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，是△ABC的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 7．如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 8．点在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 10．已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分式有意义，则x应满足的条件是 ． 12．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 13．有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ． 14．已知满足方程组，则 ． 15．如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （1）计算：；       （2）解方程：x2+3x—4=0. 17．（6分） 已知点，分别是平行四边形的边，的中点．求证：．    18． （7分） “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务，开学初，某班主任调查了全班同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x＜10)，B(10≤x＜20)，C(20≤x＜30)，D(30≤x＜40)，E(x≥40)，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)该班共有_____名学生； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)扇形统计图中m的值是_____，类别D所对应的扇形圆心角的度数是_____度； (4)在被调查做家务的总时间处于类别E的学生中有1名男生和3名女生，班主任准备从这4人中任选2人在班会课上分享收获．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 19． （7分） 2024年11月16日巴中光雾山迎来了今年入冬后的第一场雪．小明与小亮相约周末去光雾山赏雪，在山脚处测得山顶的仰角为，沿着坡比为的斜坡步行前进米到达处，在处测得山顶的仰角为．再由处乘坐缆车到达山顶处．（参考数据：，，，） (1)求山的高度．（结果保留根号） (2)若缆车的速度为，求乘坐缆车大约需要多少分钟．（结果保留到整数） 20． （8分） 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 21． （8分） 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于E，点F是弧BD上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于G，HM＝FM，ACMG． (1)求证：MG是⊙O的切线； (2)若tan，AH＝2，求OG的长． 22． （10分） 如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 23． （11分） 在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 24．（12分） 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（湖北卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列为无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B．3 C．0 D．1 5．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，是△ABC的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 7．如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 8．点在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 10．已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分式有意义，则x应满足的条件是 ． 12．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 13．有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ． 14．已知满足方程组，则 ． 15．如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （1）计算：；       （2）解方程：x2+3x—4=0. 17．（6分） 已知点，分别是平行四边形的边，的中点．求证：．    18． （7分） “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务，开学初，某班主任调查了全班同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x＜10)，B(10≤x＜20)，C(20≤x＜30)，D(30≤x＜40)，E(x≥40)，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)该班共有_____名学生； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)扇形统计图中m的值是_____，类别D所对应的扇形圆心角的度数是_____度； (4)在被调查做家务的总时间处于类别E的学生中有1名男生和3名女生，班主任准备从这4人中任选2人在班会课上分享收获．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 19． （7分） 2024年11月16日巴中光雾山迎来了今年入冬后的第一场雪．小明与小亮相约周末去光雾山赏雪，在山脚处测得山顶的仰角为，沿着坡比为的斜坡步行前进米到达处，在处测得山顶的仰角为．再由处乘坐缆车到达山顶处．（参考数据：，，，） (1)求山的高度．（结果保留根号） (2)若缆车的速度为，求乘坐缆车大约需要多少分钟．（结果保留到整数） 20． （8分） 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 21． （8分） 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于E，点F是弧BD上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于G，HM＝FM，ACMG． (1)求证：MG是⊙O的切线； (2)若tan，AH＝2，求OG的长． 22． （10分） 如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 23． （11分） 在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 24．（12分） 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（湖北卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列为无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在四个数中，无理数是； 故选D． 【点睛】本题考查无理数的判断．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键． 2．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案. 【详解】解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8， 当x＝4时，4x+7（x-2）＝30＞8， 当x＝3时，4x+7（x-2）＝19＞8， 当x＝2时，4x+7（x-2）＝8． 故知x＝2不是原不等式的解．故A，B，C不符合题意，D符合题意， 故选D 【点睛】本题考查的是不等式的解的含义，理解不等式的解的含义并进行判断是解本题的关键. 4．如与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的乘法，利用多项式的乘法展开后合并同类项，根据与的乘积中不含x的一次项得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，与的乘积中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键． 6．如图，是△ABC的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是△ABC的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 7．如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 【答案】B 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，    而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接，    由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点，    根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 8．点在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在直角坐标系的x轴上， ∴， ∴ ∴ ∴点P的坐标为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 10．已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分式有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可． 【详解】解：分式有意义，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0． 12．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 13．有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 所以共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片上的数字之和为偶数的有4种结果， 所以取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 14．已知满足方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加得，， 即， ∴， 故答案为：． 15．如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （1）计算：；       （2）解方程：x2+3x—4=0. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）利用零负指数幂法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）=；（3分） 2）解：x2+3x—4=0 解得或.（6分） 【点睛】本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（6分） 已知点，分别是平行四边形的边，的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，可得到，，结合点，分别是平行四边形的边，的中点，即可证明结论． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，．（2分） 又点，分别是平行四边形的边，的中点， ∴．（4分） ∴四边形为平行四边形． ∴．（6分） 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，牢记平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． 18． （7分） “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务，开学初，某班主任调查了全班同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x＜10)，B(10≤x＜20)，C(20≤x＜30)，D(30≤x＜40)，E(x≥40)，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)该班共有_____名学生； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)扇形统计图中m的值是_____，类别D所对应的扇形圆心角的度数是_____度； (4)在被调查做家务的总时间处于类别E的学生中有1名男生和3名女生，班主任准备从这4人中任选2人在班会课上分享收获．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)32，57.6 (4)被选中的2人恰好是1男1女的概率为． 【分析】（1）从两个统计图可知，“A组”的频数为10人，占调查人数的20%，计算即可； （2）求出“B组”“D组”人数即可补全频数分布直方图； （3）求出“C组”的人数所占的百分比即可确定m的值，“A组”占20%，相应的圆心角占360°的20%即可； （4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：10÷20%=50（人）， 该班共有50名学生； 故答案为：50；（2分） （2）解：B组人数为：50×24%=12（人）， D组人数为：50-10-12-16-4=8（人）， 补全频数分布直方图如下： ；（4分） （3）解：16÷50×100%=32%，即m=32， 360°×8÷50×100%=57.6°， 故答案为：32，57.6；（5分） （4）解：画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率．（7分） 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 19． （7分） 2024年11月16日巴中光雾山迎来了今年入冬后的第一场雪．小明与小亮相约周末去光雾山赏雪，在山脚处测得山顶的仰角为，沿着坡比为的斜坡步行前进米到达处，在处测得山顶的仰角为．再由处乘坐缆车到达山顶处．（参考数据：，，，） (1)求山的高度．（结果保留根号） (2)若缆车的速度为，求乘坐缆车大约需要多少分钟．（结果保留到整数） 【答案】(1)山的高度为 (2)乘坐缆车需 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）设，过点作于，于，在中，，坡比为，得，在中，根据，得出，即可求解； （2）由（1）知，在中，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设，过点作于，于， 由题知，，，， 在中，，坡比为， ， ，，， 四边形为矩形 ， 在中，， ， ， 答：山的高度为．（4分） （2）由（1）知 在中， ， 乘坐缆车需要（） 答：乘坐缆车需．（7分） 20． （8分） 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】(1)正比例和反比例函数的表达式分别为：， (2)点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，；（2分） （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：．（4分） 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小，（6分） 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为（7分） 当时， 点坐标为．（8分） 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 21． （8分） 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于E，点F是弧BD上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于G，HM＝FM，ACMG． (1)求证：MG是⊙O的切线； (2)若tan，AH＝2，求OG的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接OF，通过∠HAE+∠AHE＝90°得到∠OFA+∠MFH＝90°，即可证明MG是⊙O的切线； （2）连接OC、OF，通过平行得到tan∠M＝tan∠ECA＝，设CE＝4m，则AE＝3m，AC＝5m，Rt△AEH中利用勾股定理求得m的值，Rt△COE中利用勾股定理求得半径，Rt△OFG中，利用三角函数即可求得OG的值． 【详解】（1）证明：连接OF，如图所示， ∵CD⊥AB， ∴∠AEH＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°， ∵OA＝OF，HM＝FM， ∴∠HAE＝∠OFA，∠MFH＝∠MHF＝∠AHE， ∴∠OFA+∠MFH＝90°，即∠OFM＝90°， ∴OF⊥MG， ∴MG是⊙O的切线（3分） （2）解：连接OC、OF，如图所示， ∵ACMG， ∴∠M＝∠ECA， ∵tan∠M＝， ∴tan∠ECA＝，（5分） 设CE＝4m，则AE＝3m，AC＝5m， ∵FM＝MH， ∴∠MFH＝∠MHF＝∠AHC， ∵ACMG， ∴∠MFH＝∠CAH， ∴∠CAH＝∠AHC， ∴CH＝AC＝5m， ∴HE＝CH﹣CE＝m， Rt△AEH中，AE2+HE2＝AH2，AH＝2， ∴（3m）2+m2＝22，解得m＝或m＝﹣（舍去）， ∴CE＝4m＝，AE＝3m＝，（6分） 设⊙O半径为r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣， Rt△COE中，OE2+CE2＝OC2， ∴（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝， ∴OF＝， ∵MG是⊙O的切线， ∴∠OFG＝90°， Rt△OFG中，tan∠G＝，∴sin∠G＝，即＝， ∴， ∴OG＝．（8分） 【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 22． （10分） 如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求． 【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点， 设函数解析式为：， 则有：，解得：， 所以函数解析式为：．（3分） （2）解：令，则有，解得：， 所以该皮划艇顶棚的宽度为．（6分） （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴，解得：， ∴水管高度至少向上调节米， ∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．（10分） 23． （11分） 在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ；（3分） （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ；（6分） （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ；（8分） ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ；（10分） ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ．（11分） 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 24．（12分） 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为；（3分） （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或；（7分） （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴，（10分） 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或．（12分） 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（湖北卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A B C B C D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 【详解】（1）=；（3分） 2）解：x2+3x—4=0 解得或.（6分） 【点睛】本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（6分） 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，．（2分） 又点，分别是平行四边形的边，的中点， ∴．（4分） ∴四边形为平行四边形． ∴．（6分） 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，牢记平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． 18． （7分） 【详解】（1）解：10÷20%=50（人）， 该班共有50名学生； 故答案为：50；（2分） （2）解：B组人数为：50×24%=12（人）， D组人数为：50-10-12-16-4=8（人）， 补全频数分布直方图如下： ；（4分） （3）解：16÷50×100%=32%，即m=32， 360°×8÷50×100%=57.6°， 故答案为：32，57.6；（5分） （4）解：画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率．（7分） 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 19． （7分） 【详解】（1）解：设，过点作于，于， 由题知，，，， 在中，，坡比为， ， ，，， 四边形为矩形 ， 在中，， ， ， 答：山的高度为．（4分） （2）由（1）知 在中， ， 乘坐缆车需要（） 答：乘坐缆车需．（7分） 20． （8分） 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，；（2分） （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：．（4分） 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小，（6分） 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为（7分） 当时， 点坐标为．（8分） 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 21． （8分） 【详解】（1）证明：连接OF，如图所示， ∵CD⊥AB， ∴∠AEH＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°， ∵OA＝OF，HM＝FM， ∴∠HAE＝∠OFA，∠MFH＝∠MHF＝∠AHE， ∴∠OFA+∠MFH＝90°，即∠OFM＝90°， ∴OF⊥MG， ∴MG是⊙O的切线（3分） （2）解：连接OC、OF，如图所示， ∵ACMG， ∴∠M＝∠ECA， ∵tan∠M＝， ∴tan∠ECA＝，（5分） 设CE＝4m，则AE＝3m，AC＝5m， ∵FM＝MH， ∴∠MFH＝∠MHF＝∠AHC， ∵ACMG， ∴∠MFH＝∠CAH， ∴∠CAH＝∠AHC， ∴CH＝AC＝5m， ∴HE＝CH﹣CE＝m， Rt△AEH中，AE2+HE2＝AH2，AH＝2， ∴（3m）2+m2＝22，解得m＝或m＝﹣（舍去）， ∴CE＝4m＝，AE＝3m＝，（6分） 设⊙O半径为r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣， Rt△COE中，OE2+CE2＝OC2， ∴（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝， ∴OF＝， ∵MG是⊙O的切线， ∴∠OFG＝90°， Rt△OFG中，tan∠G＝，∴sin∠G＝，即＝， ∴， ∴OG＝．（8分） 【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 22． （10分） 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点， 设函数解析式为：， 则有：，解得：， 所以函数解析式为：．（3分） （2）解：令，则有，解得：， 所以该皮划艇顶棚的宽度为．（6分） （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴，解得：， ∴水管高度至少向上调节米， ∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．（10分） 23． （11分） 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ；（3分） （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ；（6分） （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ；（8分） ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ；（10分） ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ．（11分） 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 24．（12分） 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为；（3分） （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或；（7分） （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴，（10分） 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或．（12分） 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（湖北卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （1）计算：；       （2）解方程：x2+3x—4=0. 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （7分） 19. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $$