精品解析：河北省张家口市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

绝密★启用前 张家口市2024—2025学年度高一年级第一学期期未考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号及准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 把化成弧度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角度与弧度换算关系即可得答案. 【详解】由角度与弧度换算公式有. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式化简求值即可. 详解】. 故选：C 4. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由，则. 故选：A 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合一次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 详解】由题意. 故选：B 6. 华罗庚是享誉世界数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型函数图象得到、的取值范围，再根据函数平移及指数函数的性质判断即可. 【详解】由函数且的图象可知，， 所以函数在定义域上单调递增， 而函数的图象是由的图象向下平移个单位得到的，结合选项可知只有C选项符合题意. 故选：C 7. 某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） 参考数据. A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】D 【解析】 【分析】设第年投入元（2020年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设第年投入元（2020年为第年），则， 令，即， 所以， 则， 则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元， 即年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元. 故选：D 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求得为偶函数，再结合复合函数的单调性可求得复合函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而对于不等式恒成立，可得得，即，从而对分情况讨论即可求解. 【详解】由题意可知函数，所以函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 对于函数，当时，，可得其在区间上单调递增， 又因为为增函数，由复合函数定义及偶函数的性质可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，则得，即， 当时，成立， 当时，由，可得， 因为，当且仅当，即，即时取等号， 所以，得，故A正确. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角始边为轴的非负半轴，终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据终边所过的点，结合三角函数的定义及任意角定义、诱导公式判断各项正误. 【详解】由题设，为第二象限角，但不一定是钝角，A错； ，B对； ，C错； 由，则点对应为在第四象限，D对. 故选：BD 10. 设正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为4 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式、指数运算性质及“1”的代换求各项代数式的最值. 【详解】由，则，可得，当且仅当取等号，A对； 由，当且仅当取等号，即最小值为4，B错； 由，当时有最小值为2，C对； 由， 当且仅当时取等号，故的最小值为，D对. 故选：ACD 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则的取值范围为. D. 方程有5个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D. 【详解】因为，则， 画出的图象如下所示： 函数的零点个数，即与的交点个数， 当时，由图可知与有个交点，故函数有个零点，故A正确； 当时与有个交点，即函数有个零点，故B错误； 若函数有3个零点，则， 由图可知，且，即，所以， 则， 所以的取值范围为，故C正确； 由，即， 即或， 由图可得有个实数根，有个实数根， 所以方程有5个根，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，将函数的零点个数问题转化为函数与函数的交点问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指对数关系，对数的运算性质及换底公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为：1 14. 如图，在中，是以为圆心，为半径的圆落在内部的部分（其中在上），若的面积与扇形的面积之比为，记，则__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用三角形、扇形面积公式及已知有，即可求结果. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用有理数指数幂、根式与指数幂关系化简求值； （2）根据齐次式，由弦化切求值即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知幂函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可； （2）首先得到当时解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以， 解得或， 当时，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意； 综上可得； 【小问2详解】 由（1）可知当时，， 设，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，， 综上可得. 17. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，由题意可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以，集合是集合的真子集， 所以，，解得. 检验：当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 分以下两种情况讨论： 当时，，解得，此时，； 当时，，解得， 因为，则或，解得或， 此时，或. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①不恒为零；②对任意，都有；③当时，；④. （1）证明：为奇函数； （2）证明：在上单调递减； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义证明结论； （2）应用函数单调性的定义证明结论； （3）根据已知及函数的单调性、奇函数性质，将问题化为在上恒成立，应用换元法，及指数函数、二次函数的性质求左侧最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 令，则， 令，则，可得， 所以为奇函数. 【小问2详解】 令，则，且， 所以，故在上单调递减； 【小问3详解】 由，则， 所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 由，则时最大值， 所以，故实数的取值范围. 19. 设函数. （1）若， （i）求的值； （ii）若，求的值. （2）已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式及的最大值. 【答案】（1）（i）；（ii） （2），的最大值为 【解析】 【分析】（1）（i）令，即可得到，从而求出的值，再根据平方关系计算可得；（ii）由（i）知，即可求出、，从而得解； （2）令，，分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解. 【小问1详解】 （i）令，则， 因为，所以，解得， 所以； （ii）由（i）知，所以或， 又，所以，则，所以； 【小问2详解】 令，则， 所以， 令，， 当，即当时，函数在上单调递增， 所以，由，则，所以； 当，即当时，， 因为，所以； 当，即当时，函数在上单调递减， 所以，因为，所以，所以； 综上可得，且的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，第二问将问题转化为二次函数在指定区间上的最小值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 张家口市2024—2025学年度高一年级第一学期期未考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号及准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 把化成弧度是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） 参考数据. A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第四象限 10. 设正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为4 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则的取值范围为. D. 方程有5个根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围是__________. 13. 已知，则__________. 14. 如图，在中，是以为圆心，为半径的圆落在内部的部分（其中在上），若的面积与扇形的面积之比为，记，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 16. 已知幂函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 17. 已知集合，. （1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①不恒为零；②对任意，都有；③当时，；④. （1）证明：为奇函数； （2）证明：上单调递减； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数. （1）若， （i）求的值； （ii）若，求的值. （2）已知当时，.设函数最小值为，求的表达式及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $