精品解析：青海省西宁市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

西宁二中教育集团2024——2025学年第一学期 高一年级数学学科期中考试卷 审题人：刘岩 命题人：刘岩 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定为，. 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，即能推出， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断； 【详解】根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：， 故选：D 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质来确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则，所以，所以A选项错误. B选项，若，，则， 所以，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误、 D选项，若，则，所以，所以D选项错误. 故选：B 5. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 8. 定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】 ，即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ，解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用求出，再借助函数的单调性解不等式，转化的过程中应注意函数的定义域. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 11. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意. 【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”． A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义； D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）81；（2）6. 【解析】 【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出. 【详解】（1）原式； （2）由，而， 则，故. 16. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由得，然后分类和求解． 【详解】（1）当时，中不等式为，即， ∴或，则 （2）∵，∴， ①当时，，即，此时； ②当时，，即，此时. 综上的取值范围为. 17. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 18. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果； （2）对，，进行分类讨论，可分别求得其解集 【详解】（1）根据题意， 当，即时，解集不是，不符合题意； 当，即时，因为的解集为R， 所以的解集为R， 所以， 即， 故时，或，所以. 故的取值范围为： （2）因为， 所以， 当，即时，得，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数． （3）． 【解析】 【分析】（1）由求的值，由求的值，检验即可. （2）设，证明，即可说明在上是增函数． （3）利用函数为奇函数把不等式变形，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 ∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，经检验，是奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得，在上为单调递增的奇函数， 由可得， ∴， 解得， ∴不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2024——2025学年第一学期 高一年级数学学科期中考试卷 审题人：刘岩 命题人：刘岩 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 11. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（本大题共6小，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求值：. 16. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $